Ebenenberechnung/Parametergleichungen

13.06.2004, 15:18	Wildflower	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenenberechnung/Parametergleichungen Hallo ihr Lieben... Ich stecke grade mitten in Ebenenberechnung und Parametergleichungen fest und hab noch einen Riesnhaufen Aufgaben von den Sorten, die ich noch machen muss, um da mitzukommen Es wäre wirklich lieb, wenn einer von euch Profis mir die jeweils ersten von beiden Typen vieleicht vorrechnen könnte, ich verstehs einfach nicht -Geben sie zwei verschiedene Parametergleichungen der Ebene E an, die durch die Punkte A,B,C, festgelegt ist. A A=(1,1,1) B=(2,2,2) C=(-2,3,5) und: -Untersuchen sie, ob die Punkte A,B,C,D in einer gemeinsamen Ebene liegen! A=(0,1,-1) B=(2,3,5) C=(-1,3,-1) D=(2,2,2) Bitte helft mir mit den Dingern
13.06.2004, 15:43	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
also die Parameter gleichung hat die form E = a + xb + yc wobei a der Ortvektor (also quasi ein Punkt) ist, b unc c Richtungsvektoren und x,y die Parameter. richtungsvektoren sind die Differenz zweier Ortsvektoren (punkte im raum). b ist dann also Punkt B minus Punkt A und c ist dann Punkt C minus Punkt A. Du musst nur sicher stellen, das du die richtungsvektoren auf dem ortsvektor a aufbaust. Du könntest auch Punkt B für die Ebene nehmen dann würde b = (A-B) sein und c = (C-B) $\begin{align} E = \(\array{1\\1\\1}\) + x\(\array{1\\1\\1}\) +y\(\array{-3\\2\\4}\) \end{align}$ Das wäre die ebenen gleichung Das prinziep ist wie folgt: Du hast 3 Punkte die nicht auf einer geraden liegen. Diese 3 Punkte beschreiben eine Ebene. Die richtungsvektoren einer Ebene werden errechnet indem du den Ortsvektor von dem Punkt über dem du die Ebene aufbaust von den anderen Punkten abziehst, bei deinem beispiel habe ich a als Ortsvektor genommen, b = (B - A) und c = (C-A) Naja , wenn du überprüfen willst ob ALLE punkte in einer ebene liegen, stellt du die ebenen gleichung für 3 der Punkte auf. Nun bleibt noch der 4. Punkt übrig. Wenn alle Punkte auf EINER Ebene liegen sollten dann muss der 4. Punkt in der Ebene liegen die du aufgestellt hast. ergo, musst du jetzt den Punkt gleich der Ebene setzen und gucken ob du auf eine wahre aussage kommst. (Das heißt x,y berechnen mit hilfe des 4. Punktes und dann schauen das die gleichungen wahr sind)
13.06.2004, 15:48	malini	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe mal nachgerechnet aufgabe 1 . parametergelichung 1 (x,y,z) = (1,1,1) + w(1,1,1) + v(-3,2,4) aufgabe 2 (x,y,z) = (0,1,-1) + w(2,2,6) + v(-1,2,0) = (2,2,2) diese gleichung auflösen wenn die gleichung ohne problem aufgeht dann liegt der punkt in der ebene, sonst nicht.
13.06.2004, 19:58	Wildflower	Auf diesen Beitrag antworten »
Schonmal vielen Dank, so rein vom Nachvollziehen ists mir relativ klar, hoffe ich...aber kann mir jemand vielleicht nochmal konkret die Rechenschritte auschreiben, also als "Zahlenreihen"? Weil, mit dem Ausformulieren in mathematische "Ausdrucksweise", also eben in die Rechnung, hab ich oft Probleme, selbst wenn mir klar ist, wie die Aufgabe funktionieren muss. Also die Umsetzung der Erklärung, das wäre superlieb, damit ich das einmal als Bsp hab und so weitermachen kann..... Danke schön!!! :]
13.06.2004, 21:02	sumbody	Auf diesen Beitrag antworten »
ich mach das jetzt mal: A=(1,1,1) B=(2,2,2) C=(-2,3,5) um eine parametergleichung einer ebene zu erstellen braucht man 2 richtungsvektoren und einen pkt. an den man die hängen kann. (nicht vergessen zu prüfen ob die 3pkt. auf einer geraden liegen, tun sie aber nicht also...) ich nehme einfach mal C als pkt. um auf die zwei richtungvektoren zu kommen basteln wir aus A und B einen vektor vAB=v0B-v0A vAB=(2/2/2) - (1/1/1) vAB=(1/1/1) und aus A und C noch einen richtungsvektor vAC=v0C-v0A vAC=(-2/3/5) - (1/1/1) vAC=(-3/2/4) dann schreibst du das so: E=(-2/3/5) + s(1/1/1) + t(-3/2/4) die parameterfreie gleichung erhältst du indem du aus den beiden richtungsvektoren das kreuz- btw. vektorprodukt bildest vAC x vAB=-2i+7j-5k (ich nen den entstandenen vektor vn) vn=(-2/7/5) daraus ergibt sich dann schon mal: E: -2x+7y-5z+d=0 um d raus zu bekommen setzt du einen der 3pkt. ein ,A z.b. weil der so einfach ist: -21+71-51+d=0 -21+71-51=-d 21-71+5*1=d d=0 (hmm... ich denk mal das ist nur ein zufall, dass d=0 ist)dann kannst du d weglassen und die parameterfreie ebenengleichung ist: E: -2x+7y-5z=0 --------------------------------------------------------------------------------------------------------- bei der 2ten aufgabe nimmst du 3 der 4pkte. und machst genau das selbe wie oben, wenn du dann die parameterfreie gleichung hast, setzt du die koordinaten vom 4ten pkt. in diese gleichung ein. wenn die gleichung stimmt (z.b. 0=0) liegt der 4te pkt. in der ebene, die sich aus den 3 anderen pkten ergibt. also liegen alle 4pkte. in einer ebene. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- so
20.11.2007, 15:18	LadyJessy	Auf diesen Beitrag antworten »
Parametergleichungen/Koordinatengleichung Hallo Leute Ich habe auvh eine sehr dringende Frage.Geht um folgendes: Geben Sie zwei verschiedene Parametergleihungen sowie eine Koordinatengleichung der Ebene E an,die durch die Punkte A,B und C festgelegt ist. a)A(0/0/0) B(2/1/5) C(-3/1/-3) Bin absolut kein Mathegenie und wäre toll wenn mir jemand helfen könnte Gruß Jessy...
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28.04.2009, 17:51	schatzkiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Zuerst einmal hoffe ich das es richtig ist die Aufgabe hier in diesen schon bestehenden Thread zu schreiben und das ich auch Antworten bekomme Ich habe mich nämlich grade erst angemeldet und muss noch ein bischen lernen wie das hier alles funktioniert. Wir haben heute in der Schule folgende Aufgabe gerechnet. Ich hatte was anderes raus als meine Lehrerin, habe allerdings nicht richtig aufgepasst- wie ich zugeben muss- und den schritt ihres ergebnisses nicht nachvollziehen können. Jetzt habe ich die Aufgabe noch einmal nachgerechnet, bin allerdings wieder auf mein Ergebnis gekommen anstatt auf ihres. Es wäre sehr nett wenn das hier mal Einer von euch nachrechnen könnte und mir sagen kann welches Ergebnis das Richtige ist und was da falsch gelaufen ist.Vielen Dank schonmal vorab :-) Die Aufgabe: Untersuchen Sie, ob die Punkte A, B, C und D in einer gemeinsamen Ebene liegen. A ( 5\|0\|5 ) B (6\|3\|2) C (2\|9\|O) D (3\|12\|-3) das vorläufige Ergebnis lautete dann wie folgt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + r * $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + s * $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3 \\ 9 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ergebnis der Lehrerin: 4s = 4 s = 1 \Rightarrow r= 1 D liegt in der Ebene Mein Ergebnis: s= 3 r= 7 D liegt nicht in der Ebene

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