Differenzierbarkeit

06.04.2010, 19:24

Leo20

Differenzierbarkeit

Guten Tag miteinander!

Ich hätte nur eine kleine Frage zur Differenzierbarkeit:
Wenn man herausfinden will, welche Punkte hier
[attach]14116[/attach]
differenzierbar sind - welche Punkte probiert man da?

Ich hätte gesagt: 0; 1; 2; 3 (wegen dem Exponent) - aber stimmt das?
(sind die negativen Zahlen auch zu beachten?)

Liebe Grüsse,
Leo

06.04.2010, 19:57

sergej88

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Hier ist nach Punkten gefragt, dh du brauchst ZahlenPAARE.

Wie im anderen Thread ist es naheliegend direkt die Definition zu benutzen.
Beachte dass für alle von (0,0) verschiedenen die differenzierbarkeit klar sein sollte.

mfg

06.04.2010, 21:41

Leo20

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Ahh..
Also ist die Funktion nur im Punkt (0,0) differenzierbar, sonst nirgends.

06.04.2010, 22:12

MLRS

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Wie kommst du da drauf? verwirrt

Wieso soll sie in den anderen Punkten nicht differenzierbar sein?

06.04.2010, 22:31

Leo20

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Hmm..aber wie (also mit welchen System, oder Tipp) kann ich denn weitere Kandidaten evaluieren, ohne "willkürliche" Punkte zu wählen? (sonst wäre man ja während Jahren am probieren..)

06.04.2010, 22:39

saz

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Wie wär's, wenn du die Differenzierbarkeit allgemein untersuchst und nicht nur für irgendwelche speziellen Punkte?

Für $\begin{eqnarray*} (x,y) \not= (0,0) \end{eqnarray*}$ solltest du diverse Sätze kennen, um da zu argumentieren (Produkt/Summe von differenzierbaren Funktionen...?). Für $\begin{eqnarray*} (x,y) = (0,0) \end{eqnarray*}$ musst du dann eben die Definition der Differenzierbarkeit bemühen.

06.04.2010, 23:18

Leo20

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Welche Sätze meinst du denn konkret?
Ich habe hier : de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit#Definitionen
leider nichts entsprechendes gefunden..

06.04.2010, 23:56

Leopold

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Es gibt die Quotienten- und Kettenregel. Die kennst du schon aus der Schule. Und die garantieren dir die Fortpflanzung der Differenzierbarkeit von den einzelnen Gliedern auf den gesamten Ausdruck. Auf unseren Fall zurechtgestutzt erkennt man so die partielle Differenzierbarkeit außerhalb des Nullpunktes. Und da beim partiellen Differenzieren sicher stetige partielle Ableitungen entstehen (auch das zeigen die Quotienten- und Kettenregel), folgt daraus die totale Differenzierbarkeit außerhalb des Nullpunktes. Du kannst diese partiellen Ableitungen auch konkret ausrechnen, verlangt ist es in dieser Aufgabe aber nicht.

Bleibt der Nullpunkt. Du mußt überprüfen, ob es ein $\begin{eqnarray*} a = (a_1,a_2) \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ gibt, so daß

$\begin{eqnarray*} \frac{\left| f(h) - f(0) - ah \right|}{|h|} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ h = \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} \to 0 \end{eqnarray*}$

gilt. Dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar und $\begin{eqnarray*} f'(0) = a \end{eqnarray*}$ . Im Nenner stehen die Striche für die euklidische Norm. Du kannst auch jede andere Norm nehmen, aber hier ist die euklidische ganz praktisch.

Und wenn dir nichts Besseres einfällt, so versuche es doch einmal mit $\begin{eqnarray*} a = (0,0) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Übrigens: "Punkte" sind niemals differenzierbar (siehe deinen ersten Beitrag), sondern höchstens "Funktionen".

07.04.2010, 11:52

Leo20

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Achso :-)
Besten Dank für diesen guten Beitrag!
Das heisst, die Funktion ist in allen Punkten, inklusive (0,0), differenzierbar smile

07.04.2010, 14:05

Leopold

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Zitat:

Original von Leo20
inklusive (0,0)

Nicht so schnell! Das ist natürlich genau die Aufgabe. Mit dem Verdacht $\begin{eqnarray*} a = (0,0) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} ah = (0,0) \cdot \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$ . Du müßtest daher noch

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\left| f(h) - f(0) \right|}{|h|} = 0 \end{eqnarray*}$

nachweisen. Erst dann weißt du, daß $\begin{eqnarray*} f'(0) = a \end{eqnarray*}$ ist.

07.04.2010, 17:28

Leo20

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Es ist ja:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\left| f(h) - f(0) \right|}{|h|} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h_1^3}{\sqrt{h_1^2+h_2^2} } -0 }{(h_1,h_2)} = 0 \end{eqnarray*}$

also gilt: $\begin{eqnarray*} f'(0) = a \end{eqnarray*}$

07.04.2010, 17:32

saz

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Zitat:

Original von Leo20
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\left| f(h) - f(0) \right|}{|h|} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h_1^3}{\sqrt{h_1^2+h_2^2} } -0 }{(h_1,h_2)} = 0 \end{eqnarray*}$

Du kannst durch Vektoren teilen? Glückwunsch, da hast du ja was neues erfunden...

07.04.2010, 17:54

Leo20

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Ah.. alles klar smile

Die Funktion ist somit überall, ausser in (0,0) differenzierbar smile

07.04.2010, 18:17

saz

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Das wollte ich damit nicht sagen... du musst nur den Ausdruck hinter dem ersten =-Zeichen korrigieren. Wie gesagt: Durch Vektoren kann man nicht teilen.

07.04.2010, 18:39

Leo20

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Korrigiert wäre es dann so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\left| f(h) - f(0) \right|}{|h|} = \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{|h_1^3|} { \sqrt{|h_1^2+h_2^2|} } -0 } {|h|} = 0 \end{eqnarray*}$
womit die Fuktion in (0,0) aber wieder differenzierbar wäre..

07.04.2010, 18:57

Leopold

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Ha nein - du ignorierst vollkommen den (die) Nenner! Bei $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{t^4} \end{eqnarray*}$ kannst du ja auch nicht nur den Zähler anschauen und sagen: Der strebt gegen 0, also auch der Bruch. Vielmehr gilt ja hier:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{t^4} = \infty \end{eqnarray*}$

Und wie du die Betragsstriche unter die Wurzel ziehst, ist schon sehr verdächtig. Das stimmt zwar hier (zufällig), aber ich habe das unbestimmte Gefühl, daß du da nicht darüber nachgedacht hast, sondern auch in andern Fällen lästige Betragsstriche einfach irgendwohin ziehen würdest, wo sie nicht so stören. Halt irgendwie ... so nach Bauchgefühl ...

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