Endliche Untergruppen von O(3)

06.04.2010, 17:58	bussard	Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Untergruppen von O(3) Liebes Forum, ich versuche gerade ein Beweis zur Klassifizierung der endlichen Untergruppen von O(3) zu verstehen. Ziel ist es zu zeigen, dass es drei Bereiche gibt $\begin{eqnarray} H \leq SO(3) \end{eqnarray}$ , das ist klar. $\begin{eqnarray} G = H \cup \{-T: T \in H\},\quad H \leq SO(3) \end{eqnarray}$ Wähle $\begin{eqnarray} K \in SO(3) \end{eqnarray}$ mit Untergruppe von Index 2. Dann $\begin{eqnarray} G = H \cup \{-T: T \in K \setminus H\} \end{eqnarray}$ . Der 1. Fall ist klar. So, jetzt unterscheidet man zwischen 2 Fällen: $\begin{eqnarray} \sigma_0 \in G \end{eqnarray}$ (2. Bereich) oder eben $\begin{eqnarray} \sigma_0 \not\in G \end{eqnarray}$ (3. Bereich). $\begin{eqnarray} \sigma_0 = -1 \end{eqnarray}$ soll die Punktspiegelung am Ursprung sein. Im Beweis wird dann gezeigt, dass die o.g. Gruppen Untergruppen von O(3) sind (das habe ich auch verstanden). Aber was mir unklar ist: Warum unterscheidet man gerade ob $\begin{eqnarray} \sigma_0 \end{eqnarray}$ und nicht ein anderes Element in der Gruppe liegt. Warum sind das dann schon alle Untergruppen? Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen? Oder Tipps für weitere Literatur? (habe gerade von Neumann: Groups and Geometry). Ich find da nichts zu (nur viel zu Untergruppen von SO(3)). liebe Grüße vogel
07.04.2010, 11:25	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endliche Untergruppen von O(3) Tach vogel, Die Unterscheidung kommt daher, dass $\begin{eqnarray} O(3)=SO(3)\cup \{-x\|x\in SO(3)\} \end{eqnarray}$ ist. Wenn Du eine Untergruppe $\begin{eqnarray} G\leq O(3) \end{eqnarray}$ hast, mit $\begin{eqnarray} H:=G\cap SO(3) \end{eqnarray}$ , dann gibt es zuerst zwei Möglichkeiten: (1) $\begin{eqnarray} G=H \end{eqnarray}$ (2) Es existiert ein $\begin{eqnarray} x\in G\backslash H \end{eqnarray}$ (und somit $\begin{eqnarray} {\rm det}(x)=-1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} -x\in SO(3) \end{eqnarray}$ ) Im zweiten Fall können wir nun unterscheiden, ob: (2a) auch $\begin{eqnarray} -x\in G \end{eqnarray}$ liegt, denn dann ist $\begin{eqnarray} (-x)\cdot x^{-1}=-1\in G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G=H\cup \{-x\|x\in H\} \end{eqnarray}$ (Größer kann die Gruppe nicht werden, da H den Index 2 in G hat.) (2b) für alle $\begin{eqnarray} x\in G\backslash H \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} -x\not\in G \end{eqnarray}$ ist. Dann ist logischerweise auch $\begin{eqnarray} -1\not \in G \end{eqnarray}$ Die Menge $\begin{eqnarray} \{-x\|x\in G\backslash H\}\cup H \end{eqnarray}$ ist dann eine Untergruppe der $\begin{eqnarray} SO(3) \end{eqnarray}$ und wird bei Dir mit $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ bezeichnet. Gruß, Reksilat.
08.04.2010, 19:25	bussard	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Reksilat, vielen vielen Dank für deine Antwort. Du hast mir sehr geholfen liebe Grüße vogel

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