Rechnen in Restklassen

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Parwana Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnen in Restklassen
Wie kann ich x aus Aufgabe 2,b berechnen?

Geben Sie ineine Lösung von x * 602= 308 an.

ggt= 14
lambda= 10
µ= -13

Ich hab den ggt mit dem Euklidischen Algorithmus ausgerechnet und lamda und µ durch rückwärts einsetzetn. jedoch schaffe ich nicht x aus der Restklasse auszurechnen, kann mir bitte jemand erklären wie das geht.

Vielen Dank schon mal.


Grüße
Haroon
[attach]14108[/attach]
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Wie heißt denn die Gleichung die du lösen musst, um an die Lösung der Kongruenz zu kommen?
Parwana Auf diesen Beitrag antworten »

a) Berechnen Sie d = ggT(784; 602) sowie lambda; µ element aus Z mit lambda* 784 + µ* 602 = d
b) Geben Sie in Z784 eine Lösung von x * 602 = 308 an. (2 P.)
c) Bestimmen Sie alle Einheiten des Ringes R = Z30 und geben Sie zu jeder Einheit das
inverse Element an.

Das ist alles was da steht, fals du willst kannst du auch in da PDF gucken was im Anhang ist.
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja dieses Mal war ich des Lesens mächtig Augenzwinkern

Das meine ich aber auch nicht.

Aufgabe ist doch folgende Kongrunenzgleichung zu lösen:


Wie sieht diese Gleichung aus, wenn du sie nicht mit Restklassen ausdrückst???
Parwana Auf diesen Beitrag antworten »

Ich Versteh nicht was du meint Sorry.

Meinst du vieleicht 602*(22/43)=308
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

Dann machen wir noch einen Schritt zurück.

Was bedeutet, dass a kongruent zu b ist?
Und wie hängt das mit den Restklassen zusammen?
 
 
Parwana Auf diesen Beitrag antworten »

a kongruent b heißt doch das a-b=c und c ist vielfaches von modulo?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

genau, es gilt also:



Und das wende mal auf Aufgabe 2 b. an.

EDIT: Äquivalenz in der Formel
Parwana Auf diesen Beitrag antworten »

Ich Versteh zwar nicht ganz aber ich Versuchs mal.

also:
602-308=294?, aber 294 ist kein vielfaches von 784.

Ich denk ich mach das falsch, kannst du vieleicht eine Beispiel Aufgabe Vormachen oder sowas.

Ach und vielen Dank, das du mir so takräftig hilfst.
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

ich denke dir fehlt der Zusammenhang zwischen der Kongruenz und den Restklassen.

Also für a,b in so einer Restklasse gilt:



So und du hast nun
a = 602*x
b = 308
n = 784
Parwana Auf diesen Beitrag antworten »

Ich Verstehs glaub ich immer noch nicht aber ich mach mal wie ich denke.

Also
602*(22/43)-308= 0 und 0 ist Teil der Restklasse ?

Ich denke das ist immer noch Falsch...
Aber ich hoffe das du mich nicht aufgibst...
Hast du vieleicht eine Beispiel Rechnung?, mir hilfts sehr wenn ich Beispiele sehe...

Danke nochmal für deine Hilfe.
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber 22/43 ist nicht Teil der Restklasse Augenzwinkern


Wir haben eigentlich schon alles zusammen.

Setz doch man in a-b=q*n das ein, was ich dir im letzten Post angegeben habe.

So und dank des erw. eukl. Alg. kennst du schon die Lösungen für


Und wenn du dann noch dran denkst, dass 308=14*22 ist, hast du schon alles beisammen.
Parwana Auf diesen Beitrag antworten »

Also genau eingesetzt ergibt das Folgendes:

602*x-308=q*784

aber die Aufgabe ist doch nicht Lösbar jetzt sind auf einmal 2 Unbekannte Variablen da anstat nur einer?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber das macht nichts.

Schau mal in die Gleichung mit . Das sind doch auch zwei Unbekannte und die hast du bereits errechnet.

So nun stell ich mal deine Gleichung etwas um:



Und jetzt denke mal daran dass gilt 308 = 14*22

Wie kommt man nun von



auf die Gleichung oben?
Parwana Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrizke


Und jetzt denke mal daran dass gilt 308 = 14*22

Tut mir Leid, ich bekomms einfach nicht raus bei kommt für q und x dass gleiche raus wie für lambda und µ.

und ich Versteh auch nicht woher du 308=14*22 her hast.
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Parwana
(...)
und ich Versteh auch nicht woher du 308=14*22 her hast.

Taschenrechner...

Also:

mit
und
lautet die Gleichung:


Bring mal die rechte Seite auf 308, aber so, dass bei der Gleichung die 784 und die 602 erhalten bleiben.
Parwana Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du so?

ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »

Da chrizke offline ist wage ich mal eine Antwort:

Du musst schon auf beiden Seiten mit 22 Multiplizieren!

Und dann hast du auch einen möglichen Wert für Dein x

Allerdings ist das natürlich nicht der einzige (evident!) aber auch nicht der kleinste.
Parwana Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es so richtig?



und x=286?, fals das richtig sein soll, versteh ich nicht wieso in der muster lösung 286 nicht aufgeführt ist und wie die in der muster lösung auf x=498 kommen.

Und Danke für deine Hilfe.
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja -286 ist wie von ObiWanKenobi erwähnt eine Lösung. Es gibt unendlich viele, aber eine sollte hier erstmal reichen Augenzwinkern

So nun noch kurz zur 498:

-286 liegt in der gleichen Restklasse wie 498.

Denn
Parwana Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht genau ob ich es verstanden habe ich werd gleich mal ein paar aufgaben rechnen, könnt ihr mir vieleicht auch bei aufgabe c helfen?

c) Bestimmen Sie alle Einheiten des Ringes R = Z30 und geben Sie zu jeder Einheit das
inverse Element an.
ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »

@chrizke

Ich hätte zu der ganzen Sache auch noch eine Frage. Bei mir ist das locker über 15 Jahre her, dass ich mich zuletzt mit Restklassen befasst habe.

Ich fand x= 50 als Lösung wegen

602 * 50 - 784*38 = 308

Ich vermute auch dass dies das kleinste x ist. Leider leider finde ich aber keine vernümftige Erklärung dafür außer, dass es eben so ist!?

Hammer traurig
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ah das bietet dir etwas Übungsmaterial in der Art zum Aufgabenteil b.

Dafür aber musst du wissen, was die Einheiten sind.

Das wirst du wohl aus der Vorlesung wissen, wie man die Einheiten von findet.

Ein ganz heißer Tipp bei all den Geschichten hier: Bézout-Identität.

EDIT: @ObiWanKenobi Sämtliche Lösungen sind:
Ich denke damit kannst du was anfangen Augenzwinkern
Ansonsten lies dich kurz in das Lösen linearer Diophantischer Gleichungen ein.
Parwana Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrizke
Ah das bietet dir etwas Übungsmaterial in der Art zum Aufgabenteil b.

Dafür aber musst du wissen, was die Einheiten sind.

Das wirst du wohl aus der Vorlesung wissen, wie man die Einheiten von findet.

Ein ganz heißer Tipp bei all den Geschichten hier: Bézout-Identität.


Meinst du mich damit?, ich weiß nämlich nicht mehr wie man die Einheiten von Z_n findet, ich glaub das wusste ich noch nie, kann vieleicht auch daran liegen das ich viel von der Vorlesung verpasst habe, aber ich hab hier auch das Skript bei mir liegen und weiß nicht wie man die Einheiten von Z_n findet.

Ich kann mit dem Begriff Bézout-Identität leider auch nichts Anfangen bzw. hör ich das zum ersten mal.

Und nochmal vielen Dank, dass du mir geholfen die Aufgabe zu Rechnen, hast mich echt nen Riesen gefallen getan. Danke.
ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja cool! Dann ist also 778 modulo 56 das kleinste positive x (i.e. 50) Big Laugh

Wenn Du mir jetz noch verraten könntest wo die 56 herkommt wäre das echt toll!

Danke auch für Deine Hinweise zum "weiterlesen"
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

@Parwana die Einheiten von sind alle Zahlen, die Teilerfremd zu n sind.
Und eine Einheit zu einer Zahl a findet man, indem man eine Zahl x sucht, sodass:

Und das ist ja ähnlich zu Aufgabenteil b.


@ObiWanKenobi
Die 56 kommt daher, dass man eine nicht zu beachtende 0 hinzuaddiert:

Dann sucht man also , sodass:

Teilt man nun durch den ggT 14:

Also:

Setzt man diese 0 nun oben ein und klammert entsprechend aus, kommt man auf sämtliche Lösungen.
ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank! Wieder was gelernt! Jetzt kann ich beruhigt schlafen gehen!

Servus!
Parwana Auf diesen Beitrag antworten »

@chrizke: gehst du vieleicht auch zur uni? oder Interessierst du dich einfach nur für Mathe?, Fals du zur Uni geht zur welchen gehst du?

€dit: Ich hab ein paar Übungsaufgaben gerechnet, klappt alles wunderbar, vieleicht Dank nochmal für deine Hilfe.
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich gehe zur Uni und studiere Mathe.

Wenn ich mich nur so für Mathe interessieren würde, dann nicht für dieses Themengebiet hier Augenzwinkern
Parwana Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Uni besuchst du denn?

und was wäre die Inverse also c^-1, von C=31 in Z_192?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Studiere in Kaiserslautern.


Das Inverse von 31 ist 31 in smile

Und jetzt geh ich schlafen.
Parwana Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte die inverse nicht die einheit, also c^-1.

Schade dachte das du vieleicht in der nähe studierst ich studere Informatik an der RWTH in Aachen, ist mein erstes Semester und hab die Uni bisschen zu locker genommen und häng jetzt ziemlich hinterher schreib am Donnerstag meine Klausur zu dem Thema.

Bist bestimmt auch im ersten Semester oder?, würd ich mal schätzen, da du 20 bist wie ich.
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja sorry, kam grad mit den Begriffen Einheit und inverse durcheinander.

Für c=31 gilt c^-1=31 in

Bin jetzt zum Sommersemester im 4.
Parwana Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Inverse von C=31 in Z_192 ist C=31?

Und wie kommts das du mit 20 schon im 4. Semster bist, kommst du aus Holland? oder hast du kein Abi gemacht?
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