Binomialkoeffizienten

07.04.2010, 00:11

Hurrrz

Binomialkoeffizienten

Sieht eigentlich harmlos aus - ich krieg's aber nicht gebacken. Bin ich zu blind oder ist das Ding wirklich so hartnäckig?

Gegeben sei die rekursiv definierte Folge $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit:

$\begin{eqnarray*} a_{n+2}=a_n-11\cdot a_{n+1} \ \mbox{und} \ a_0=4,~a_1=-22 \end{eqnarray*}$

Zeige:

$\begin{eqnarray*} 5\sum_{k=0}^n\binom{5n}{5k}=32^n+a_n \end{eqnarray*}$

Keine Ahnung ob's hier brauchbar ist - aber per Induktion wurde bereits bewiesen:

$\begin{eqnarray*} 3\sum_{k=0}^n\binom{3n}{3k}=8^n+(-1)^n\cdot 2 \end{eqnarray*}$

07.04.2010, 09:58

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Zitat:

Original von Hurrrz
Keine Ahnung ob's hier brauchbar ist - aber per Induktion wurde bereits bewiesen:

$\begin{eqnarray*} 3\sum_{k=0}^n\binom{3n}{3k}=8^n+(-1)^n\cdot 2 \end{eqnarray*}$

Vermutlich kann man gewisse Beweistechniken des dortigen Induktionsschrittes auch auf die hiesige Aufgabe übertragen.

07.04.2010, 11:44

Kühlkiste

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RE: Binomialkoeffizienten

Zitat:

Original von Hurrrz
Gegeben sei die rekursiv definierte Folge $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit:

$\begin{eqnarray*} a_{n+2}=a_n-11\cdot a_{n+1} \ \mbox{und} \ a_0=4,~a_1=-22 \end{eqnarray*}$

Es hilft hier vermutlich nicht weiter, dennoch möchte ich die explizite Darstellung der Folge nicht unerwähnt lassen:

$\begin{eqnarray*} a_n=2\left[\left(\frac{-11+5\sqrt{5}}2\right)^n+\left(\frac{-11-5\sqrt{5}}2\right)^n\right]. \end{eqnarray*}$

Im Induktionsbeweis für die zweite Identität hast Du vermutlich folgendes benutzt:

$\begin{eqnarray*} {3n+3 \choose 3k}=3\left[{3n \choose 3k-3}+{3n \choose 3k-2}+{3n \choose 3k-1}\right]-2{3n \choose 3k-3}+{3n \choose 3k} \end{eqnarray*}$

Bildet man nun auf beiden Seiten Summen, so wird der Ausdruck in der eckigen Klammer zu:

$\begin{eqnarray*} {3n \choose k} \end{eqnarray*}$

und der Rest (außerhalb der eckigen Klammer) lässt sich mittels Indexverschiebung stark vereinfachen.

Für die zu beweisende Identität betrachte dann analog:

$\begin{eqnarray*} {5n+5 \choose 5k}=5\left[{5n \choose 5k-5}+{5n \choose 5k-4}+{5n \choose 5k-3}+{5n \choose 5k-2}+{5n \choose 5k-1}\right]-4{5n \choose 5k-5}+5\left[{5n \choose 5k-3}+{5n \choose 5k-2}\right]+{5n \choose 5k} \end{eqnarray*}$

siehe auch hier: matheboard.de/thread.php?threadid=415144

07.04.2010, 11:51

wisili

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Möglicherweise ist auch die Gliedformel $\begin{eqnarray*} a_{n} =2\left(p_{1}^{n} + p_{2}^{n} \right) \end{eqnarray*}$
hilfreich. Dabei sind die $\begin{eqnarray*} p_{1,2} \end{eqnarray*}$ Lösungen der charakteristischen Gleichung $\begin{eqnarray*} p^{2} =1-11\ p \end{eqnarray*}$
Edit: Sorry, zu spät.

07.04.2010, 11:58

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Zitat:

Original von Kühlkiste
$\begin{eqnarray*} a_n=2\left[\left(\frac{-11+5\sqrt{5}}2\right)^n+\left(\frac{-11-5\sqrt{5}}2\right)^n\right] \end{eqnarray*}$

Was man wegen

$\begin{eqnarray*} \frac{-11 \pm 5\sqrt{5}}2 = \left(\frac{-1\pm\sqrt{5}}2\right)^5 \end{eqnarray*}$

auch so umschreiben kann:

$\begin{eqnarray*} a_n=2\left[\left(\frac{-1+\sqrt{5}}2\right)^{5n}+\left(\frac{-1-\sqrt{5}}2\right)^{5n}\right] \end{eqnarray*}$ .

Jetzt tauchen schon mal die $\begin{eqnarray*} 5n \end{eqnarray*}$ auf. Augenzwinkern

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