Matrix idempotent

07.04.2010, 07:17	Miro	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix idempotent Hallo, ich habe ein Problem damit zu zeigen, dass die folgende Matrix idempotent ist. Dabei handelt es sich um die sog. Hut-Matrix bei der linearen Regression, d.h. die Matrix X ist insbes. invertierbar. $\begin{eqnarray} P := X (X^T X)^{-1} X^T \end{eqnarray}$ P soll eine Projektionsmatrix sein, also symmetrisch und idempotent. Die Symmetrie ist einfach: $\begin{eqnarray} P^T = (X (X^T X)^{-1} X^T)^T = (X^T)^T ((X^T X)^T)^{-1} X^T = P \end{eqnarray}$ Aber wie zeigt man nun die Idempotenz? Also $\begin{eqnarray} P^2 = P \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} P^2 = (X (X^T X)^{-1} X^T)^2 = X^2 ((X^T X)^2)^{-1} (X^T)^2 = ? \end{eqnarray}$ Kann mir dabei bitte kurz jemand helfen? Vielen Dank!
07.04.2010, 07:36	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Problem ist das Du das Produkt $\begin{eqnarray} (X(X^TX)^{-1}X^T)^2 \end{eqnarray}$ völlig falsch berechnest. Diese "Regel" die Du da anwendest gilt nicht für Matrizen (zumindest nicht für alle). Richtig : $\begin{eqnarray} (X(X^TX)^{-1}X^T)^2 = X(X^TX)^{-1}X^T \cdot X(X^TX)^{-1}X^T \end{eqnarray}$ Und hier sieht man sofort das es sich um eine Projektion handelt.
07.04.2010, 17:46	Miro	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja Vielen Dank!

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