lineares Funktional auf l^\infty

07.04.2010, 08:27	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
lineares Funktional auf l^\infty Fällt jemandem spontan ein beschränktes lineares Funktional auf $\begin{eqnarray} l^\infty \end{eqnarray}$ (beschränkte Folgen) ein, welches auf $\begin{eqnarray} c_0 \subset l^\infty \end{eqnarray}$ (der Menge aller Nullfolgen) verschwindet? Natürlich sollte es auch nicht-trivial sein...
07.04.2010, 09:06	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann mich erinnern das wir mal so ein Teil hatten. Es war etwas in der Richtung $\begin{eqnarray} T(a_n) = \lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray}$ allerdings ist es so nicht wohldefiniert, da die Folgen in $\begin{eqnarray} l^\infty \end{eqnarray}$ nicht zwingend konvergieren müssen. Sie sind halt nur beschränkt. Besitzen aber konvergente Teilfolgen (also die Elemente von l^infty besitzen konvergente Teilfolgen). Ich schätze mal eher etwas der Art $\begin{eqnarray} T(a_n) = \lim_{n \to \infty} \sup_{k \geq n}a_n \end{eqnarray}$ könnte funktionieren. Leider bin ich grade auf Arbeit und kann meine Aufzeichungen nicht durchwühlen.Allerdings kann ich mich da auch irren.
07.04.2010, 10:26	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, daran hatte ich auch schon gedacht, ist aber nicht linear (Addition)... Bspw. $\begin{eqnarray} (a_n) = 0,1,0,1,..., \quad (b_n) = 1,0,1,0,... \end{eqnarray}$ Dann wäre $\begin{eqnarray} T(a_n + b_n) = 1 \neq 2 = T(a_n) + T(b_n) \end{eqnarray}$ . Ich schätz mal, irgendwas mit dem Supremum eignet sich nicht wirklich, wegen der Additivität
07.04.2010, 10:36	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich ist der Grenzwert linear. Wenn die Folgen a_n und b_n konvergieren gilt $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_n + b_n = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n \end{eqnarray}$ Das sollte doch aus der Analysis bekannt sein. Allerdings ist der Limes Superior nur Subadditiv. Aber ich kann mich erinnern das unser Ding was wir damals hatten irgendwas mit dem Supremum zu tun hatte. edit: Ich hab grade gelesen, der Grenzwert machts! Mittels Hahn-Banach kannst Du das Ganze ja auf $\begin{eqnarray} l^\infty \end{eqnarray}$ hochziehen. Allerdings kriegt man so auch nur die Existenz . Man darf halt den Grenzwert Operator nicht auf Ganz l^\infty definieren, sondern nur für konvergente Folgen (e.g Teilräume).
08.04.2010, 02:23	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah! Sehr schön! Schade nur, dass Hahn-Banach nicht konstruktiv ist... Aber das wird wohl vorerst genügen. Falls jemand doch noch ein konkretes Funktional angeben könnte, immer her damit! Edit: Hab nochmal kurz überlegt, aber finde auf die Schnelle keinen Beweis. Ein Gegenbeispiel jedoch auch nicht: Definiere: $\begin{eqnarray} T(x_n):= \frac{\lim \sup x_n + \lim \inf x_n}{2} \end{eqnarray}$ Ist das ein lineares Funktional? Wenn ja, dann wäre es eine Fortsetzung des von dir vorgeschlagenen Funktionals auf ganz $\begin{eqnarray} l^\infty \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray} \limsup (a_n+b_n) + \liminf (a_n+b_n) = \limsup (a_n) + \liminf (a_n) + \limsup (b_n) + \liminf (b_n) \end{eqnarray}$ Edit2 Habe gerade ein Gegenbeispiel gesagt bekommen. Das ist also kein lineares Funktional...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »