Bogenlänge bestimmen - Problem beim Integrieren

07.04.2010, 10:32

abakus7

Bogenlänge bestimmen - Problem beim Integrieren

Meine Frage:
Hallo!

Ich möchte die Bogenlänge eines Kurvenstücks bestimmen. Gegeben ist dazu $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} \\ t \\ -2t^{\frac{1}{2} } \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Die Bogenlänge soll zwischen $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.

Meine Ideen:
Folgendermaßen bin ich vorgegangen: $\begin{eqnarray*} \vec{x}' =\begin{pmatrix} \sqrt{t} \\ 1 \\ -\frac{1}{\sqrt{t}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Die Länge des Kurvenstücks (l) ist dann: $\begin{eqnarray*} l=\int_A^B \! || \vec{x}' || \, dt \end{eqnarray*}$ . Der Betrag von $\begin{eqnarray*} \vec{x}' \end{eqnarray*}$ ist dann: $\begin{eqnarray*} ||\vec{x}'||=\sqrt{\sqrt{t}^2+1^2+(-\frac{1}{\sqrt{t}})^2} \end{eqnarray*}$ ... und etwas umgeschrieben: $\begin{eqnarray*} ||\vec{x}'||=\frac{\sqrt{t^2+t+1}}{\sqrt{t}} \end{eqnarray*}$ .
Nun wäre der Betrag zu integrieren, und hier komme ich nicht weiter: $\begin{eqnarray*} l=\int_A^B \! \frac{\sqrt{t^2+t+1}}{\sqrt{t}} \, dt \end{eqnarray*}$ ? Kann jemand vielleicht einen Tipp geben?

lg

07.04.2010, 13:24

mYthos

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Ich befürchte, dass dieses Integral nur numerisch zu bestimmen ist. Von t = 0 (A) bis t = 1 (B) liefert es rd. 2,44 LE.

mY+

07.04.2010, 13:44

abakus7

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Ok, ich befürchte auch soetwas, hab' schon viel probiert und komme auf keine Lösung verwirrt

Aber ich hätte in dem Zusammenhang noch eine Frage:

Wie funktioniert das Grundsätzlich mit Vektoren als Integralgrenzen? Eigentlich müssten Integralgrenzen ja Skalare sein, oder?

lg

07.04.2010, 13:51

mYthos

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.. das sind sie ja; sie werden durch den Parameter t bestimmt. A, B sind Ortsvektoren zu Punkten auf der (in Parameterform gegebenen) Kurve und für diese gibt es jeweils einen bestimmten Parameterwert t(A) und t(B). Deswegen wird ja dein bestimmtes Integral von einer Funktion in t von t = 0 bis t = 1 bestimmt.

mY+

07.04.2010, 14:51

abakus7

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Die Nebel lichten sich immer mehr, nur bei einem steh' ich noch ein wenig aufm Schlauch:

Zitat:

Parameterwert t(A) und t(B)

Wie berechnet man diesen Parameterwert?

lg

07.04.2010, 14:59

saz

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In dem Fall brauchst du dir ja nach Definition deines Vektors nur die zweite Komponente anzusehen, dort steht doch gerade t Wink

... also 0 bzw. 1