Ableiten einer Integralgleichung

07.04.2010, 09:31

Bilek

Ableiten einer Integralgleichung

Hi,

habe folgende Gleichung gegeben:

$\begin{eqnarray*} C=rR+\int_y^\infty \!p(x-y) f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} x>\frac{R-kD}{1-k}\equiv y \end{eqnarray*}$

Nun soll ich nach R ableiten:

$\begin{eqnarray*} \frac{dC}{dR}= ? \end{eqnarray*}$

Bin nun folgendermaßen vorgegangen:

Einsetzen von $\begin{eqnarray*} \frac{R-kD}{1-k} \end{eqnarray*}$ für y in Ausgangsgleichung:

$\begin{eqnarray*} C=rR+\int_y^\infty \!p(x-(\frac{R-kD}{1-k})) f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C=rR+\int_y^\infty \!px-p(\frac{R-kD}{1-k}) f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Mein Ergebnis ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{dC}{dR}= r-\int_y^\infty \!p\frac{1}{1-k} f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

In meinem Lehrbuch steht jedoch dieses Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{dC}{dR}= r-\int_y^\infty \!p f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Habe keine Ahnung was ich falsch mache?
Meine Ableitung ist doch richtig oder?

Ich meine die Ableitung nach R von $\begin{eqnarray*} \frac{R}{1-k} \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-k} \end{eqnarray*}$ !?

Oder mache ich sonst einen dummen Fehler?

Wäre toll wenn mir jemand einen Tip geben könnte

Danke

07.04.2010, 11:31

Huggy

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RE: Ableiten einer Integralgleichung
Meiner Meinung nach ist dein Ergebnis korrekt.

Ganz korrekt ist es aber nur, wenn du gesehen hast, dass die Ableitung des Integrals nach seiner unteren Grenze Null ergibt. Punktabzug, falls du diesen Teil der Ableitung einfach vergessen hast.

07.04.2010, 13:43

Lampe16

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RE: Ableiten einer Integralgleichung

Zitat:

In meinem Lehrbuch steht jedoch dieses Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{dC}{dR}= r-\int_y^\infty \!p f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Oder mache ich sonst einen dummen Fehler?

Das Lehrbuch hat an dieser Stelle Recht.

Dumm ist Dein Fehler überhaupt nicht. Wenn Du solche Aufgaben lösen sollst, müsste vorher die Regel dran gewesen sein, wie man Integrale differenziert, deren Grenzen von einem Parameter abhängen.
Am besten, Du suchst nach einer Formel, die so anfängt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\rm d}{{\rm d}y}\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}{\rm f}(x,y)~{\rm d}x= ... \end{eqnarray*}$

Dann ist der Rest nicht mehr schwierig. Wenn Du die Formel (eventuell hat sie andere Bezeichnungen) nicht findest, melde Dich nochmal.

07.04.2010, 14:07

Huggy

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RE: Ableiten einer Integralgleichung
@Lampe16

Das ist ja soweit richtig, was du schreibst, bis auf das Ergebnis.

Laut Aufgabe ist doch nach

$\begin{eqnarray*} \frac{dC}{dR}=\frac{dC}{dy}\frac{dy}{dR} \end{eqnarray*}$

gefragt. Und es ist

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dR}=\frac{1}{1-k} \end{eqnarray*}$

Wie verschwindet denn dieser Faktor deiner Meinung nach?

07.04.2010, 14:16

Lampe16

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RE: Ableiten einer Integralgleichung
Das Lehrbuchergebnis ist richtig.

Der Faktor verschwindet, weil er mit null multipliziert wird, wenn Du die Ableitungsregel anwendest. Hast Du die denn gefunden?

07.04.2010, 14:22

Bilek

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RE: Ableiten einer Integralgleichung
Hmm,

nein ich finde diese Regel/Formel nicht.
Wäre nett wenn du sie mir zeigen und erläutern könntest.

Und genauso wie Huggy im Beitrag vorher würde ich gerne wissen wie dieser Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-k} \end{eqnarray*}$ einfach verschwindet?

07.04.2010, 14:38

Lampe16

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RE: Ableiten einer Integralgleichung
Die Regel ist als pdf beigefügt. Man kann sie herleiten, indem man auf die Ableitungsdefinition als Grenzwert des Differenzenquotienten zurückgeht.

07.04.2010, 14:45

Bilek

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RE: Ableiten einer Integralgleichung
Danke für deine Mühe, Lampe16.
Verstehen tu ich aber nix. Ist ein bisschen zu hoch für mich.
Naja, werd mir das Ergebnis einfach merken...

07.04.2010, 14:45

Huggy

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RE: Ableiten einer Integralgleichung

Zitat:

Original von Lampe16
Der Faktor verschwindet, weil er mit null multipliziert wird, wenn Du die Ableitungsregel anwendest.

Das bezweifele ich noch immer. Wenn man das Integral mit I(y) bezeichnet, hat man:

$\begin{eqnarray*} \frac{dI}{dR}=\frac{dI}{dy}\frac{dy}{dR}=\frac{dI}{dy}\frac{1}{1-k} \end{eqnarray*}$

Bist du soweit einverstanden?

Nach der von dir zitierten Regel bekommt man:

$\begin{eqnarray*} \frac{dI}{dy}=-p(y-y)f(y)+\int_y^{\infty}\frac{d}{dy}p(x-y)f(x)~dx=0-\int_y^{\infty} pf(x)~dx \end{eqnarray*}$

Und das verbleibende Integral ist noch immer mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-k} \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren. Also noch mal: Wieso verschwindet dieser Faktor deiner Meinung nach?

07.04.2010, 15:30

Lampe16

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RE: Ableiten einer Integralgleichung
@ Huggy & Bilek,

Sorry, ich widerrufe. Auch die pdf-Formel führt zum Ergebnis mit dem Divisor (1-k). Ich habe peinlich falsch partiell differenziert!

Nochmal Pardon für die Irritationen!

07.04.2010, 16:07

Huggy

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RE: Ableiten einer Integralgleichung
@Bilek

Nachdem auch Lampe16 zustimmt, darfst du davon ausgehen, dass dein Resultat richtig ist und das Buch (welches?) hier einen Fehler hat.

Allerdings habe ich den Eindruck, dass du mehr durch Glück als durch Verstand zum richtigen Ergebnis gekommen bist (siehe Punktabzug in meiner ersten Antwort). Du solltest dir die von Lampe ziterte Regel mal ansehen. Dein Ergebnis ist nur deshalb richtig, weil ein aus dieser Regel folgender Term hier zufällig Null wird.

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