Eigenschaften messbarer Funktionen / Bildmaß

07.04.2010, 13:00	ricd	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften messbarer Funktionen / Bildmaß Liebes Forum, ich habe eine (etwas peinliche) Verständnisfrage zu messbaren Funktionen. Im Beweis, dass das Bildmaß $\begin{eqnarray} \nu(A):=\mu(f^{-1}(A)) \end{eqnarray}$ , darin $\begin{eqnarray} f: (\Omega_1,A_1)->(\Omega_2,A_2) \end{eqnarray}$ messbar, $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ ein Maß auf $\begin{eqnarray} (\Omega_1, A_1) \end{eqnarray}$ , ein Maß ist, muss man u.A. einsehen: $\begin{eqnarray} f^{-1}(\emptyset)=\emptyset \end{eqnarray}$ und: für eine Folge $\begin{eqnarray} (A_n) \end{eqnarray}$ paarweise disjunkter Mengen in $\begin{eqnarray} A_2 \end{eqnarray}$ sind auch deren Urbilder $\begin{eqnarray} f^{-1}(A_n) \end{eqnarray}$ paarweise disjunkt. Warum gilt dies beides?
07.04.2010, 14:56	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das $\begin{eqnarray} f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \end{eqnarray}$ gilt, kann man elementar zeigen, und sollte klar sein. Was deine zweite Frage angeht, Widerspruchsbeweis! Nimm an die $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ sind paarweise Disjunkt, und behaupte die Urbilder wären es nicht. Dann kannst Du einen Widerspruch ableiten. Ist auch elementar.
08.04.2010, 14:27	ricd	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Was ist dann hier falsch: Seien $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_2 \end{eqnarray}$ die trivialen $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebren und $\begin{eqnarray} f(\emptyset):=\Omega_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(\Omega_1):=\emptyset \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ doch $\begin{eqnarray} (A_1,A_2) \end{eqnarray}$ -messbar, aber $\begin{eqnarray} f^{-1}(\emptyset)=\Omega_1 \end{eqnarray}$ . Mir fehlt offenbar irgendetwas grundlegendes über messbare Funktionen, weshalb mir auch die elementaren Beweise nicht gelingen... Danke im Voraus.
08.04.2010, 15:12	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Die exakte Definition einer messbaren Funktion : Seien $\begin{eqnarray} (\Omega_1,F_1),(\Omega_2,F_2) \end{eqnarray}$ 2 Messräume. Eine Abbildung $\begin{eqnarray} f : \Omega_1 \to \Omega_2 \end{eqnarray}$ heisst F_1-F_2-messbar wenn $\begin{eqnarray} f^{-1}(A) \in F_1 ~ \forall A \in F_2 \end{eqnarray}$ . Zumindest steht das in meinem Buch hier. Danach wäre $\begin{eqnarray} f(\emptyset):=\Omega_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(\Omega_1):=\emptyset \end{eqnarray}$ keine Funktion der Art $\begin{eqnarray} f : \Omega_1 \to \Omega_2 \end{eqnarray}$ und ist daher nicht messbar.
13.04.2010, 11:08	ricd	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke.

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