Verschoben! Funktion zeichnen über Polynomdivison

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07.04.2010, 13:31	matheo	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion zeichnen über Polynomdivison Meine Frage: Hallo zusammen, bin neu hier! Zu meiner Aufgabe: Polynomdivison ausführen, Nullstellen finden und den Funktionsgraphen zeichnen! x^4-4x^3+27=O Ich erhalte dabei: (x-3)^2 (x^2+2x+3) --> die ist 100% korrekt! Nun weiss ich das y=27( wenn man für x=O einsetzt)die Y-Achse schneidet. Ausserdem haben wir den Punkt x=3 aus (x-3=0) die eine positive Parabel ausdrückt. wenn ich aber zu (x^2+2x+3) komme, weiss ich nicht was ich damit anfangen soll und wo sie genau ansetzt. Da ja die Potenzen und ihre Vorzeichen Positiv sind geht der Graph auf beiden seite nach oben. Ich weiss nicht wie ich die (x^2+2x+3) anpacken soll, da sie ja auch nicht weiter zerlegbar ist! Polynomdivison ist nicht das Problem sondern den Graphen richtig zu zeichnen! ICh hoffe jemand hat mich verstanden und kann mir schnell aus der Patsche helfen Danke! Meine Ideen:* .
07.04.2010, 13:41	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Erstellung des Graphen reicht nicht allein die letzte Klammer! Du musst die Funktion immer als Ganzes diskutieren. Offensichtlich hat sie nur zwei (reelle) Nullstellen (--> eine doppelte Nullstelle). Den weiteren Verlauf erhältst du über allgemeine Kurvendiskussion: - Monotonieverhalten - Tangenten in den Nullstellen - (Relative) Extremwerte - Wendepunkte, Wendetangenten - Krümmungsverhalten Zur Not kannst du noch eine Wertetabelle erstellen und dir über die Funktion einen Überblick mittels eines Plotters darstellen. EDIT: Ich wollte eigentlich JETZT noch NICHT einen Plot einfügen ... (u. U. erst später) mY+
07.04.2010, 13:43	andy_m	Auf diesen Beitrag antworten »
x^4-4x^3+27=O (--> dies ist keine Funktion) Aber ich denke du meinst die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = x^4-4x^3+27 \end{eqnarray}$ . Hattet ihr schon Extrema, Wendepunkte?
07.04.2010, 14:23	matheo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenne die Funktionen aus der Matura. Ist aber schon eine Weile her.Ich hatte diese allerdings mit dem Taschenrechner. In dieser Schule darf ich keinen Wissenschaftlichen Taschenrechner mehr gebrauchen, und da habe ich momentan keinen Durchblick! ich weiss noch das aus der 1. Ableiteigung der MAx/Min berechnet wurde, indem das Resultat der 1.Ableitung in die Hauptfunktion eingefügt wurde. Mit der 2 war glaub ich Tangente iergendwas. Ich habe bis jetzt den Max ausgerechnet inedem ich den Mittelwert der Nullpunkte auf der X-achse in die Hauptfunktion eingestzt habe. ( geht ja auch) Generell fehlen mir aber Lösungsschritte, wie ich das Anpacken muss. Ich meine, die Funktion auf dem Taschenrechner darstellen ist kein Prob, nur die schritte wie ich sie von Hand zeichne wollen mir einfach nicht einfallen! Besten Dank für die schnellen antworten!
07.04.2010, 14:27	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann dir diese Seite empfehlen: Kurvendiskussionen, schön ist auch ganz unten das Musterbeispiel dazu.
07.04.2010, 18:23	ObiWanKenobi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe bis jetzt den Max ausgerechnet inedem ich den Mittelwert der Nullpunkte auf der X-achse in die Hauptfunktion eingestzt habe. ( geht ja auch) Aber nur, wenn du vorher gezeigt hast, dass die Funktion im fraglichen Bereich symmetrisch ist!
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07.04.2010, 18:33	matheo	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für das Beispiel. ich hab schon vieles mehr verstanden! Jedoch stehe ich IMMER vor dem gleichen Problem. Sobald ich bei einer Polynomdivision so etwas erhalte: (x-2)(x+2)(-x^2-24), weiss ich zb, dass die Nullstellen x=2 und x=-2 sind, jedoch weiss ich dann nicht weiter. Die usprüngliche Funktion war: f(x)=-x^4-20x^2+96. Die Nullstellen die ich erhalten habe sind 2 und -2. Durch die Division erhalte ich dann als letztes (-x^2-24). Ich stehe vor dem gleichen Problem wie bei der oberen Aufgabe. Was zum Geier muss ich den jetzt tun??? Wie soll ich hier MAx/Min berechnen wenn es hoch 4 ist??? oder hoch 5? Wenn ich Ableite für max/min bekomme ich y`= -4x^3-40x. Das kann ich ja so gar nicht verwenden! wenn ich die Tangente herausfinden will y``= -12x^2-40 bekomme ich 0 in der quadratischen Formel. Kann mir mal eine bitte sagen, was der Vorgang bei solchen Aufgaben ist um den Graphen zu zeichnen??
07.04.2010, 18:42	ObiWanKenobi	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst würde ich eine Wertetabelle anlegen. Dann die Nullstellen von f(x); f'(x); f''(x) bestimmen.
07.04.2010, 18:56	matheo	Auf diesen Beitrag antworten »
ich darf keinen Wissenschaftlichen Taschenrechner gebrauchen. Wie soll ich den hier vorgehen?? ich brauche nur ein lösungsbeispiel in so einem fall damit ich dass mal genau sehe.
07.04.2010, 23:08	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, die normale Kurvendiskussion durchführen! 1. Ableitung --> Extrema 2. Ableitung --> Wendepunkte Die Steigungen der Tangenten in bestimmten Punkten ergeben sich ebenfalls mittels der 1. Ableitung. Und - wie gesagt - einfach Wertetabelle. Die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen und sinnvoll verbinden, das sollte dann nicht gar so schwer sein. Das alles haben wir dir aber vordem schon gesagt! mY+
07.04.2010, 23:35	ObiWanKenobi	Auf diesen Beitrag antworten »
Poste doch eine konkrete Aufgabe möglichst mit dem Formeleditor + alle Schritte die du aleine schaffst. Wenn's dann hakt bekommst du bestimmt Hilfe. Für eine Wertetabelle einer ganzrationalen Funktion braucht man gar keinen Taschenrechner! Wenn ich gut drauf bin mache ich das im Kopf (bis 3. Grades locker) und sonst mit Papier und Bleistift!
08.04.2010, 11:16	matheo	Auf diesen Beitrag antworten »
Okey versuchen wir mal die hier: $\begin{eqnarray} f(x)=(1/12)x^4- (1/3)x^3+ (9/4) \end{eqnarray}$ So dann hab ich das auf ganze Zahlen erweitert, damit ich rechnen kann: $\begin{eqnarray} f(x)=x^4 - 4x^3 + 27 \end{eqnarray}$ Als nächstes kommt die Polynomdivision: Als Nullstelle auf der x-achse finde ich x=3 $\begin{eqnarray} (x^4-4x+27): (x-3)=x^3-x^2-3x-9 \end{eqnarray}$ Auch hier finde ich wieder x=3 $\begin{eqnarray} (x^3-x^2-3x-9): (x-3)=x^2+2x+3 \end{eqnarray}$ nun habe ich eine Doppelte Nullstelle (x-3)^2 und den Rest der nicht weiter zerlegbar ist x^2+2x+3. somit ist $\begin{eqnarray} (x^4-4x+27)=(x-3)^2 (x^2+2x+3) \end{eqnarray}$ Nun weiss ich dass (x-3)^2 am Punkt (3/0) eine positive Parabel ist, weil die Potenz ^2 gerade ist. Von: f(x)=x^4 - 4x^3 + 27 ist bei f(o)=27=y Nun aus mir einem unerklärlichem Grund muss ich versuchen die Tangente zu berechnen: 1 Ableitung $\begin{eqnarray} f(x)= 4x^3-12x^2 \end{eqnarray}$ 2 Ableitung $\begin{eqnarray} f(x)= 8x^2 \end{eqnarray*}$ wobei man ja sieht das x=o sein muss, da durch 0 dividiert und die Wurzel gezogen wird. diese Null wird nun in die Hauptfunktion eingesetzt wobei y=27 herauskommt Nun weiss ich, dass also bei x=3 eine Parabel die x-achse BERÜHRT, die nach oben geht. Auf y=27 ist eine Tangente. Und nun weiss ich nicht was die weiteren überlegungen sein müssen. Ich frage mich ob man hier nun einfach die Punkte verbindet, dh. da die Gesammte Funktion ja sowieso Positiv ist, müssen beide endungen ins + unendliche gehen. Weil x^2 wie x^4 verhält, nur das sie ein bisschen breiter ist. iergendwie schaff ich es nicht die Tangente y=27 anzuhängen
09.04.2010, 22:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du machst bereits am Anfang und dann auch später entscheidene Fehler. Erstens veränderst du du die Funktion f(x), wenn du sie mit 12 multiplizierst. f(x) bleibt dabei keineswegs gleich. Zulässig ist allein nur das Ausklammern des Faktors $\begin{eqnarray} \frac 1 {12} \end{eqnarray}$ . Zweitens ist die Ableitung von $\begin{eqnarray} 4x^3 - 12x^2 \end{eqnarray}$ NICHT $\begin{eqnarray} 8x^2 \end{eqnarray}$ , da sind gleich zwei (!) Fehler darin. Drittens ist dein Graph der einer quadratischen Funktion und dieser ist keineswegs identisch mit dem der gegebenen Funktion 4. Grades. Ich habe dir schon einmal nahegelegt, dass nicht abgespaltene Faktoren, sondern immer die ganze Funktion zu betrachten sind, das hast du wieder nicht beachtet. mY+

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