Zahlenfolgen

24.10.2006, 21:46

Kasper00000

Zahlenfolgen

Hallo,
ich hätte hier zur folgenden Aufgabe mal nee Frage:

Funktionen in der Form $\begin{eqnarray*} a: \mathbb N \to \mathbb R , n \to a(n) \end{eqnarray*}$ heißen reelle Zahlenfolgen. Statt a(n) schriebt man meist a_n. Die gesamte Folge wird dann mit $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

Beispiel: Statt $\begin{eqnarray*} a: \mathbb N \to \mathbb R , n \to \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ schreibt man $\begin{eqnarray*} a(n) = \frac{1}{n^2} , n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Gegeben ist nun die Funktion $\begin{eqnarray*} a: {\{1,2,3,4,5\}} \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Geben Sie eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ an, die Fortsetzung von a ist.
Erklären Sie $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ durch einen möglichst einfachen Term.

(a) $\begin{eqnarray*} a_1 = \frac{1}{4}, a_2 = \frac{2}{5}, a_3 = \frac{3}{6}, a_4 = \frac{4}{7}, a_5 = \frac{5}{8} \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} a_1 = 1, a_2 = 3, a_3 = 6, a_4 = 10, a_5 = 15 \end{eqnarray*}$

(c) $\begin{eqnarray*} a_1 = \frac{1}{2}, a_2 = \frac{2}{5}, a_3 = \frac{3}{10}, a_4 = \frac{4}{17}, a_5 = \frac{5}{26} \end{eqnarray*}$

(d) $\begin{eqnarray*} a_1 = - \frac{1}{3}, a_2 = \frac{2}{5}, a_3 = - \frac{3}{7}, a_4 = \frac{4}{9}, a_5 = - \frac{5}{11} \end{eqnarray*}$

Könnte dann zu a) die folgende Lösung richtig sein:
$\begin{eqnarray*} (a_n) : \mathbb N \to \mathbb R , n \to a_n = \frac{n}{n+3} \end{eqnarray*}$

wäre diese antwort zu (a) schonmal richtig? und komplett?

zu (b) Also, hier bin ich mir nicht wirklich sicher. Könnte man das hier so schreiben:
$\begin{eqnarray*} (a_n) : \mathbb N \to \mathbb R , n \to a_n = n + a_{n-1} \end{eqnarray*}$

zu (c): $\begin{eqnarray*} (a_n) : \mathbb N \to \mathbb R , n \to a_n = \frac {n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$

zu (d): hier habe ich ein kleines problemchen. Ich bin hier nur so weit gekommen:
$\begin{eqnarray*} (a_n) : \mathbb N \to \mathbb R , n \to a_n = \frac {n(-1)^n}{?} \end{eqnarray*}$ . ich habe versucht, rauszufinden, was in den nenner kommen könnte. doch ich komme nicht wirklich auf eine gescheite idee.

So, und wäre damit (bis auf die aufgabe (d) ) dann diese aufgabe komplett gelöst? oder habe ich was vergessen, zu machen? Denn ich verstand diesen aufgaben teil nicht so 100%: Gegeben ist nun die Funktion $\begin{eqnarray*} a: {\{1,2,3,4,5\}} \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Geben Sie eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ an, die Fortsetzung von a ist.
Das verstehe ich nicht so richtig.

Ich danke euch schonmal sehr für eure Hilfe smile

Gruß Kasper00000

24.10.2006, 22:04

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zahlenfolgen
(2n + 1) könnte bei d) passen.

Bei deinem Fortsetzungsproblem sind die ersten 5 Folgenglieder gegeben, wie geht es wohl weiter: 1, 2, 3, 4, 5, ... ?

Ansonsten kannst du eine Folge natürlich völlig beliebig fortsetzen, die Art und Weise, wie du fortsetzt, ändert nichts an der Folgeneigenschaft.

Grüße Abakus smile

24.10.2006, 22:09

Kasper00000

Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

schonmal danke, für deine Antwort. Du hast recht zu d), dass passt wie angegossen. Danke Freude

Und heißt das etwa, ich muss noch weitere Folgenglieder aufschrieben? Bzw. ein weiteres Folgenglied?

Und kann man die Antwort in dieser schreibweise so niederschreiben? wie ich es gemacht habe?

schonmal vielen dank, für eure hilfestellungen smile

24.10.2006, 22:16

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kasper00000
Und heißt das etwa, ich muss noch weitere Folgenglieder aufschrieben? Bzw. ein weiteres Folgenglied?

Ja, gib einfach die Folgeglieder in Abhängigkeit von n an.

Bei b) würde ich eine explizite Darstellung der Folgenglieder bevorzugen. Da kannst du noch über eine Formel nachdenken.

Grüße Abakus smile

25.10.2006, 21:25

Kasper00000

Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

also, zu b) hätte ich noch folgenden Vorschlag. Der mir jetzt persönlich auch ein tick besser gefällt:

b) $\begin{eqnarray*} (a_n) : \mathbb N \to \mathbb R , n \to a_n = \frac {n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

und tut mir echt leid, wenn ich danach frage. Aber was meinst du damit:

Zitat:

Original von Abakus
Ja, gib einfach die Folgeglieder in Abhängigkeit von n an.

ich verstehe das nicht. Sind denn diese bisherigen Allgemeinen Darstellung, die wir jetzt zusammen geschustert haben, nicht schon folgenglieder in abhängigkeit von n?
Wenn das nicht der fall ist, könntest du bitte zu einer der aufgaben ein beispiel machen? oder ein eigenes beispiel erstellen? Gott

ich glaube das würde mir sehr helfen.

danke schonmal

25.10.2006, 21:49

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Zahlenfolgen

Zitat:

Original von Kasper00000

zu (b) Also, hier bin ich mir nicht wirklich sicher. Könnte man das hier so schreiben:
$\begin{eqnarray*} (a_n) : \mathbb N \to \mathbb R , n \to a_n = n + a_{n-1} \end{eqnarray*}$

Hier hast du keine direkte Abhängigkeit von n, sondern nur eine rekursive Formel. Du musst zuerst $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ berechnen und kannst nicht n einfach einsetzen.

Deine neuer Vorschlag ist ok.

Grüße Abakus smile

26.10.2006, 11:35

Kasper00000

Auf diesen Beitrag antworten »

ah,
jetzt habe ich es verstanden. danke Prost

Neue Frage »

Antworten »

Zahlenfolgen

Verwandte Themen