Volumen des Torus durch Rotation eines Kreises

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07.04.2010, 18:00	mchstudeth	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen des Torus durch Rotation eines Kreises Meine Frage: Ich sitze nun schon seit drei Stunden an dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Wäre echt toll wenn mir jemand helfen könnte. Also: Ich sollte das Volumen des Torus durch Rotation des Kreises $\begin{eqnarray} \left\{ (x,0,z) \in R^3/ (x-R)^2 + z^2 \leq r^2 \right\} \end{eqnarray}$ um die z-Achse wobei 0<r<R. Meine Ideen: Ich berechne das ganze mittels Zylinderkooardinaten. Somit folgt: $\begin{eqnarray} \left\{ (r',\phi,z) \in R^3/ (r'cos(\phi)-R)^2 + z^2 \leq r^2 \right\} \end{eqnarray}$ Stimmt nun das Folgende: $\begin{eqnarray} 0\leq \phi\leq 2\pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\sqrt{r} \leq z\leq \sqrt{r} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\leq r'\leq \frac{\sqrt{r^2 - z^2}+R }{cos(\phi)} \end{eqnarray}$ Danach wollte ich das Volumen durch Integration über diese Grenzen (und unter Verwendung der Jacobidet. in Zylkoord. =r') berechnen. Aber das klappt nicht. Ich bekomme 0 raus.. Vielen Dank jetzt schon für eure Hilfe!!
07.04.2010, 18:15	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Torus durch Rotation eines Kreises Du kannst das Volumen aus Streifenringen mit dem differentiellen Volumen $\begin{eqnarray} 2z(x){\rm d}x\cdot 2\pi x \end{eqnarray}$ zusammensetzen. Die Integrationsgrenzen sind dann der Innen- und der Außerradius.
07.04.2010, 18:19	mchstudeth	Auf diesen Beitrag antworten »
klar so würde es auch gehen, aber ich sollte die Aufgabe wie angedeutet mit Hilfe eines Dreifachintegrals über d $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ , dz und dr' lösen.
07.04.2010, 18:28	Lampe16	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} \int\int\int \end{eqnarray}$ geht es sicher auch. Aber da bin ich nicht mit dabei.
07.04.2010, 19:22	Muff Potter	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen des Torus durch Rotation eines Kreises Vielleicht hilft Dir das Stichwort Guldinsche Regel weiter...
07.04.2010, 19:39	mchstudeth	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch auf diesem Weg würde ich wohl zum Ziel gelangen. Doch der Punkt ist, ich bin Mathematikstudent und ich sollte diese Aufgabe exakt auf dem von mir beschriebenen Weg lösen. Wie bereits gesagt, glaube ich, dass mein Fehler bei der Darstellung der Grenzen liegt! Aber vielen Dank für die guten Hinweise!!!
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07.04.2010, 19:55	Muff Potter	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm. Ich weiß nicht ob ichs richtig verstehe, aber ich würde dann wohl statt Zylinderkoordinaten Tourskoordinaten nehmen: $\begin{eqnarray} \vec X(t,p) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = R \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} \cos(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(t) \cdot \cos(p) \\ \sin(p) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (R + r \cdot \cos(p)) \cos(t) \\ (R + r \cdot \cos(p)) \sin(t) \\ r \cdot \sin(p) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Davon die Determinante für das Volumenintegral...ist geringfügig anders als bei Zylinderkoord. Hmhm. Vielleicht hilft es Dir ja. Etwas OT: Torusmathematik ist irgendwie sauschwierig. Ich sitze inzwischen (als Hobby) an mehren fiesen Integralen, die mit dem Torus zusammen hängen. Dabei scheint das hier noch einfach zu sein.
07.04.2010, 21:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach es dir nicht so kompliziert. Zeichne dir auf ein Blatt ein kartesisches $\begin{eqnarray} zx \end{eqnarray}$ -Koordinatensystem, die $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Achse nach rechts, die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse nach oben. Der Mittelpunkt des Kreises hat die Koordinaten $\begin{eqnarray} z = 0, x = R \end{eqnarray}$ und der Kreis den Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0<r<R \end{eqnarray}$ . Der Kreis, genauer: die Kreislinie, hat die Gleichung $\begin{eqnarray} (x-R)^2 + z^2 = r^2 \end{eqnarray}$ Wenn du diese Gleichung nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auflöst: $\begin{eqnarray} x = R \pm \sqrt{r^2 - z^2} \, , \ \ -r \leq z \leq r \end{eqnarray}$ kannst du dir den Kreis als aus zwei Funktionsgraphen zusammengesetzt denken: $\begin{eqnarray} \text{oberer Halbkreis:} \ \ x = f(z) = R + \sqrt{r^2 - z^2} \, , \ \ \ \ \mbox{unterer Halbkreis:} \ \ x = g(z) = R - \sqrt{r^2 - z^2} \end{eqnarray}$ Wenn die Fläche zwischen der $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Achse und dem oberen Halbkreis um die $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Achse rotiert, entsteht ein Körper von der Gestalt eines schönen runden Käselaibs. Und beim unteren Halbkreis entsteht so etwas wie eine Kabelrolle ohne Kabel. Und jetzt gilt für die Volumina: $\begin{eqnarray} V_{\mbox{Torus}} = V_{\mbox{Käselaib}} - V_{\mbox{Kabelrolle}} \end{eqnarray}$ Mit der aus der Schule bekannten Formel für Rotationskörper läßt sich nun alles erschlagen. Für die Rechnung empfiehlt es sich, nicht die beiden Integrale getrennt auszurechnen, sondern erst alles unter ein Integralzeichen zu ziehen und den Integranden vorher zu vereinfachen. Wenn du diese Schulformel nicht verwenden darfst, kannst du sie auch für den aktuellen Zweck herleiten. Wie lassen sich die Punkte des Torus beschreiben? Denke dir die $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Achse aus dem Blatt herauskommend auf dich zu zeigend. Wenn du nun $\begin{eqnarray} z \in [-r,r] \end{eqnarray}$ festhältst, dann bilden die Punkte des Torus mit diesem $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Wert einen Kreisring mit $\begin{eqnarray} g(z) \end{eqnarray}$ als innerem und $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ als äußerem Radius. Damit sind $\begin{eqnarray} -r \leq z \leq r \, , \ \ \left( g(z) \right)^2 \leq x^2 + y^2 \leq \left( f(z) \right)^2 \end{eqnarray}$ die den Torus $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ charakterisierenden Bedingungen, und es gilt nach Fubini $\begin{eqnarray} V_{\mbox{Torus}} = \int \limits_T \dd (x,y,z) = \int_{-r}^r \left( \ \int \limits_{\left( g(z) \right)^2 \leq x^2 + y^2 \leq \left( f(z) \right)^2}~\dd (x,y) \right)~\dd z \end{eqnarray}$ Das innere Integral ist aber auch nichts anderes als die Fläche des oben beschriebenen Kreisrings. Und wenn du jetzt die Kreisformel " $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ mal Radius Quadrat" verwendest, bekommst du dasselbe Integral wie oben.
08.04.2010, 13:48	mchstudeth	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieser Weg ist echt genial!! Vielen vielen Dank. Noch eine Sache, könntest du mir noch bei der expliziten Berechnung des inneren Integrals behilflich sein? Da haperts noch ein bisschen..
08.04.2010, 15:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo ist das Problem? Ein Kreisring mit den Radien $\begin{eqnarray} 0<r_1<r_2 \end{eqnarray}$ hat den Inhalt $\begin{eqnarray} \pi r_2^{\, 2} - \pi r_1^{\, 2} = \pi\left( r_2^{\, 2} - r_1^{\, 2} \right) \end{eqnarray}$ .
08.04.2010, 19:15	mchstudeth	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry hab mich nicht präzise ausgedrückt. Also das innere Integral ergibt ja $\begin{eqnarray} 4\pi R\sqrt{r^2 - z^2} \end{eqnarray}$ D.h. das nun nach z integrieren ergibt: $\begin{eqnarray} 2\pi R(z\sqrt{r^2 - z^2} + r^2arctan(\frac{z}{\sqrt{r^2 - z^2}} )) \end{eqnarray}$ Doch wenn ich nun die Grenzen -r und r einsetze dividiere ich ja in arctan(..) durch 0. Da komme ich nicht weiter..
08.04.2010, 22:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} h(z) = \sqrt{r^2 - z^2} \end{eqnarray}$ ist die Funktionsvorschrift für den oberen Halbkreis mit dem Ursprung als Mittelpunkt (Satz des Pythagoras: $\begin{eqnarray} z^2 + \left( h(z) \right)^2 = r^2 \end{eqnarray}$ ). Und damit ist $\begin{eqnarray} \int_{-r}^r h(z)~\dd z = \ldots \end{eqnarray}$ Alternativ die Standardsubstitution $\begin{eqnarray} z = r \sin t, \, - \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ . Die liefert aber auch nichts anderes, als was man sowieso schon weiß. Und wie kommst du denn auf diese wüste Stammfunktion? Hat dir das irgendeine Maschine geliefert? Schließlich ist $\begin{eqnarray} \arctan \left( \frac{z}{\sqrt{r^2 - z^2}} \right) = \arcsin \frac{z}{r} \, , \ -r < z < r \end{eqnarray}$ Und für $\begin{eqnarray} z \to r \end{eqnarray}$ streben beide Seiten gegen $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ .
09.04.2010, 20:27	mchstudeth	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar!! Ich konnte die Aufgabe nun vollkommen durchrechnen. Noch einmal herzlichen Dank für die super Hilfe! @ Leopold: Ich sag mal dein Status "Wahnsinniger" ist eindeutig gerechtfertigt.

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