Geometrische Reihe als Majorante

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07.04.2010, 18:27	heimeldeimel	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrische Reihe als Majorante Meine Frage: Hallo. Ich sitze seid einiger Zeit an einer Aufgabe, die ich einfach nciht zufriedenstellend gelöst bekomme. Gesucht ist der Konvergenzradius und Das Konvergenzverhalten auf dem Rand bei $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{x^k}{k^2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: den Konvergenzradius habe ich mit dem Wurzelkriterium gefunden r=1 Nun versagt aber Das wurzelkriterium bei x=1 und x=-1 welches die Punkte sind die noch genauer untersucht werden müssen, was mich zu dem klugen Schluss bringt das Vergleichskriterium benutzten. Eine geometrische Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n q^k \end{eqnarray}$ mit q=0.8 oder so wäre ja irgendwie eine. Außer das erste Glied sind ja alle größer oder? Es heißt ja, es muss für FAST alle k stimmen. Ist das korrekt?
07.04.2010, 18:33	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Konkret musst du doch nur die Reihen $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac {(-1)^k}{k^2} \end{eqnarray}$ betrachten. Die erste Reihe ist sehr bekannt, für die zweite Reihe kannst du ein weiteres Konvergenzkriterium anwenden.
07.04.2010, 18:46	heimeldeimel	Auf diesen Beitrag antworten »
Also war meine geometrische Reihe total falsch? $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2} \end{eqnarray}$ achso. Ja ich sehe in meinem Skript die verallgemeinerte harmonische Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^s} \end{eqnarray}$ Die bei s>1 Konvergent ist. Nun würde es reichen sich darauf zu beziehen das die Reihe Konvergent ist, weil das in meinem Buch steht oder müsste ich das auch nochmal untersuchen? Für $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2} \end{eqnarray}$ meine ich.
07.04.2010, 18:49	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ihr das so in der Vorlesung hattet, darfst du das durchaus verwenden (da ja 2>1 offensichtlich gegeben ist).
07.04.2010, 19:01	heimeldeimel	Auf diesen Beitrag antworten »
ok vielen Dank. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac {(-1)^k}{k^2} \end{eqnarray}$ Ist nach dem Leibnitz Kriterium ja konvergent. Könnte man das mit $\begin{eqnarray} a_{n} \geq a_{n+1} \end{eqnarray}$ auch beweisen?
07.04.2010, 19:05	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du mit $\begin{eqnarray} a_n\geq a_{n+1} \end{eqnarray}$ ? Meinst du damit, die Monotonie der Folge $\begin{eqnarray} a_k=\frac 1{k^2} \end{eqnarray}$ ?
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07.04.2010, 19:11	heimeldeimel	Auf diesen Beitrag antworten »
weil doch (nach dem Leibnitz-Kriterium) bei $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac {(-1)^k}{k^2} \end{eqnarray}$ jedes $\begin{eqnarray} a_n\geq a_{n+1} \end{eqnarray}$ sein muss, damit die Reihe konvergent ist. Oder ist meine Antwort einfach: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac {(-1)^k}{k^2} \end{eqnarray}$ ist konvergent, da sie das leibnitz-kriterium erfüllt
07.04.2010, 19:15	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst schon etwas genauer werden. Das Leibnizkriterium besagt, dass die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^ka_k \end{eqnarray}$ genau dann konvergiert, wenn $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ eine monoton fallende Nullfolge ist. Was ist denn jetzt dein $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ in deinem Beispiel?
07.04.2010, 19:25	heimeldeimel	Auf diesen Beitrag antworten »
achso ja klar $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ ist ja dann nur $\begin{eqnarray} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray}$ jetzt muss ich die Monotonie bestimmen
07.04.2010, 19:31	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, das sollte aber auch relativ leicht gehen. Tipp: Betrachte mal die Folge $\begin{eqnarray} a_n=n^2 \end{eqnarray}$ hinsichtlich Monotonie und schließe daraus auf die Monotonie deiner Folge.
07.04.2010, 19:49	heimeldeimel	Auf diesen Beitrag antworten »
okay $\begin{eqnarray} a_n=n^2 \end{eqnarray}$ ist (streng) monoton wachsend $\begin{eqnarray} a_k=\frac 1{k^2} \end{eqnarray}$ kann auch nur fallen. Aber wie schreibe ich das korrekt hin? Also man sieht ja das die Folgeglieder immer kleiner werden. $\begin{eqnarray} \frac{1}{k^2} \geq \frac{1}{(k+1)^2} \end{eqnarray}$ da wächst ja der Nenner schneller, wodurch das Folgeglied immer kleiner ist als das Glied davor. Dass es eine Nullfolge ist konnte man mit dem lim zeigen.
07.04.2010, 19:51	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du weißt, dass $\begin{eqnarray} k^2 < (k+1)^2 ~\forall k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , was ist denn, wenn du das reziproke davon betrachtest?
07.04.2010, 19:57	heimeldeimel	Auf diesen Beitrag antworten »
was heißt denn das umgedrehte A ?
07.04.2010, 19:59	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du untersuchst Reihen auf Konvergenz und kennst nicht den Allquantor?
07.04.2010, 20:14	heimeldeimel	Auf diesen Beitrag antworten »
die Aussage ist wahr, wenn alle k Element der natürlichen Zahlen sind. Das reziproke davon ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{k^2} > \frac{1}{(k+1)^2} \forall k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ?
07.04.2010, 20:15	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das bekommst du als Ergebnis, was sagt das also über die Monotonie?
07.04.2010, 20:23	heimeldeimel	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_{k} \end{eqnarray}$ ist eine streng monoton Fallende Nullfolge. Demnach ist das Leibnitz-Kriterium erfüllt und die Potenzreihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{x^k}{k^2} \end{eqnarray}$ bei x=-1 konvergent. Nice dankeschön! schönen Abend noch
07.04.2010, 20:25	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dem habe ich nichts mehr hinzuzufügen

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