Injektivität einer linearen Abb.

08.04.2010, 12:51	Realy	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität einer linearen Abb. Hi, habe folgende Aufgabe: sei f: V-> W linear mit dim V > dim W. Folgt daraus "f ist nicht injektiv"? Hatte die Vermutung "Ja." Wähle nun eine Basis von W und V. $\begin{eqnarray} B_V = (v_1 , v_2 , ... , v_n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B_W = (w_1 , w_2 , ... , w_m) \end{eqnarray}$ mit n > m. Will nun ein Argument ungleich 0 auf 0 abbilden, was mir ja sagt, dass f nicht injektiv ist. Ich weiß $\begin{eqnarray} f(0_v) = 0_w \end{eqnarray}$ da f linear. Ich will jedoch als Argument eine linear kombination die gerade nicht 0 ist. Wenn ich die Abbilde und die linearität ausnutze komme ich auf: $\begin{eqnarray} f(v) = f(a_1 v_1 + a_2 * v_2 + ... + a_n * v_n ) = a_1 * f(v_1) +..... + a_n * f(v_n) = 0_w \end{eqnarray}$ Also die menge $\begin{eqnarray} (f(v_1), .... f(v_n)) \end{eqnarray}$ ist linear abhängig da n > m gilt. Dazu kam noch das mindestens ein $\begin{eqnarray} a_i , i \in (1,2,....,n) \end{eqnarray}$ ungleich 0 war. Kann ich nun darauf schließen das ich ein Argument ungleich 0 gefunden habe, welches auf $\begin{eqnarray} 0_w \end{eqnarray*}$ abgebildet wird? Oder ist diese Folgerung allgemein ungültig? Hoffe jemand kann mir helfen. Gruß
08.04.2010, 13:15	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Grundsätzlich ist deine Idee völlig richtig. Du musst nur etwas sortieren. Wie Du richtig sagst ist die Menge $\begin{eqnarray} \{f(v_1), .... f(v_n)\} \end{eqnarray}$ linear abhängig. Dann gibt es eine Linearkombination mit $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n a_if(v_i) = 0 \end{eqnarray}$ wobei mindestens ein a_i ungleich null ist. Die Menge $\begin{eqnarray} \{v_1, .... v_n\} \end{eqnarray}$ ist linear unabhängig (da Du sie so gewählt hast), und da ein Faktor a_i ungleich 0 ist folgt natürlich $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n a_iv_i \neq 0 \end{eqnarray}$
08.04.2010, 13:20	Realy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vielen dank Scheint sinnvoller zu sein erst eine linearkombi aus den f(v_i) zu erzeugen und koeffizienten festzusetzen und dann das passende Argument zu betrachten. Gruß
08.04.2010, 13:26	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, in der Tat ist es sorum besser. Nicht jede linearkombination von linear abhängigen Vektoren erzeugt immer den Nullvektor. Das heisst, Du müsstest dann noch zeigen das deine Linearkombination tatsächlich Null ergibt.

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