allgemeine Vektorrechnung

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Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »
allgemeine Vektorrechnung
Hallo ihr Lieben,

Folgendes Problem... Hatte eine OP und komm jetzt im Fachabi nicht mehr hinterher... Wir machen im Moment Vektorrechnung und ich hab null Ahnung was die da vorne an der Tafel produzieren.

Also...

Ich bin schon am haspern wenn ich sehe, dass zwei Ortsvektoren a und b nachher den Vektor AB ergeben. Dabei verstehe ich nicht, wonach man sich richtet welcher Vektor subtrahiert wird?
Angenommen ich habe A(3/3/2) und B(6/2/5) wieso rechne ich dann für AB b-a und nicht a-b? Gibt ja so eine Spitze-Schaft-Regel, die besagt, dass ich vom Schaft zur Spitze muss... und wenn ich ich das dann mache, starte ich von spitze "a" zum schaft "b"..... heißt also, dass ich den gegen vektor von b rechnen müsste oder?
meiner logik nach wäre es dann a-b....


Au man... ich brauch ganz schön hilfe, wenn ich die prüfung packen will.... :-(
Vinyl Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir mal dieses Bild an.

[attach]14152[/attach]

Wie kommst du von Punkt A nach B, wenn du diesen Weg mit den Vektoren angeben musst!


Vinyl
 
 
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

verstehe ich nicht... wenn ich mir das aufmale, dann seh ich auch sofort dass ich die differenz aus ortsvektor b minus ortsvektor a bilden muss, um an Vektor AB zu kommen...
aber wie erkenne ich das ohne aufmalen?

Dankeschön für die Antwort übrigens...
Vinyl Auf diesen Beitrag antworten »

Du gehst immer vom ersten Punkt zum Ursprung, und dann zum Zweiten.
Also: -P1+P2 = P2-P1

[ich meinte, dass man, um von A nach B zu kommen, Vektor a rückwärts laufen muss, und dann der Vektor b vorwärts.]
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann es auch so sagen.

und seien Ortvektoren der Punkte A bzw. B; der Vektor von A nach B.

Dann gilt:

Daraus folgt:

[attach]14158[/attach]
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

jup... glaube ist verstanden... dankeschön... nur nochmal zur kontrolle... angenommen es wäre die frage nach dem Vektor BA dann würde doch gelten. b+BA=a und somit müsste ich dann rechnen a-b=BA
okay... ich hoffe ich habs richtig verstanden...
jetzt gehts weiter....
wie läuft das mit der parametergleichung?
also was bedeutet x->=(3/-1/2)+t(5/2/3)
wofür steht das t? ist das einfach eine variable?
wie kann ich so eine parametergleichung aus gegebenen punkten oder vektoren aufstellen?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mikey3110
a-b=BA

Richtig. Freude

t ist der Parameter für den Richungsvektor, t bestimmt also dessen Orientierung und Länge.
Der andere wichtige Vektor ist der (Auf- oder) Stützvektor, in ihn wird der Richtungsvektor sozusagen eingesetzt.

Guck mal da. Oder bring am besten ein Beispiel, denn für längeren rein theoretischen Unterricht ist dieses Forum eigentlich nicht gedacht.
Kleine Verständnisfragen behandeln wir natürlich schon. Augenzwinkern
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

gegeben sind A(2/7/3) B(1/4/2)

So... jetzt stell ich die gleichung auf...
x->= (2/7/3)+t*(AB)

oder

x->=(1/4/2)+t*(BA)

stimmt das so?

wenn ich als stützvektor A nehme, dann muss ich richtungsvektor AB nehmen und wenn ich stützvektor B nehme, dann muss ich mit BA rechnen?
ist das so korrekt?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Da fehlt die genaue Aufgabenstellung; sie könnte z. B. so lauten: Gib die Parameterform der Geraden an, die durch die Punkte A und B geht.

Für diesen Fall sind beide Lösungen richtig. Du kannst beide Punkte für den Stützvektor verwenden und als Richtungsvektor entweder oder nehmen.

Allgemein wird angenommen, dass der Parameter - hier t - Element aus R ist. Damit kannst Du jeden Punkt erreichen, der auf der Geraden liegt.
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

was heißt element aus "R"?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Hattet Ihr noch nicht die Zahlenmengen?
Jedenfalls ist der Parameter t eine (positive oder negative) reelle Zahl und wird mit dem Richtungsvektor multipliziert, sodass dieser jede beliebige Länge - in beide Richtungen - annehmen kann. Damit kannst Du wie gesagt jeden beliebigen Punkt auf der Geraden darstellen.
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

Verstanden.... Sprich t=2 hätte ich den Punkt auf der Geraden, der sich aus 2xAB ergibt... Wieso macht es denn keinen Unterschied, ob ich den Stützvektor (ist ja meiner Meinung nach auch n Ortsvektor?) von A oder von B nehme?
Welche aufgabe hat denn der Richtungsvektor? was gibt er denn genau an? eine gerade ist ja halt eine gerade, ohne anfang und ende....
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Sprich t=2 hätte ich den Punkt auf der Geraden, der sich aus 2xAB ergibt

Genau, und zwar vom Stützvektor an gerechnet.

Du kannst nicht nur Punkt A oder B als Stützvektor verwenden, sondern jeden Punkt, der auf der Geraden liegt.
Der Richtungsvektor - nomen est omen - gibt die (in Deinem Beispiel: räumliche) Richtung der Geraden an. Sobald der an einem Punkt, der auf der Geraden liegt, "montiert" ist, ist auch die Gerade gegeben.
Ja, man kann sich das wirklich mechanisch vorstellen. Bilder sind ohnehin anschaulicher als lange Erklärungen, schau nochmal hier rein, oder such selber ein bisschen.

Zitat:
eine gerade ist ja halt eine gerade, ohne anfang und ende....

Richtig, eine Gerade geht in beide Richtungen ins Unendliche.
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank!!!!
Bin glaub ich, halbwegs wieder am ball... rechne gerade beträge von vektoren usw....
sagt mal... wie kann ich denn bei zwei vektoren beweisen, dass sie kolinear sind?
kann ich auch die beträge ausrechnen und gucken ob diese ein vielfaches voneinander sind? Angenommen ich habe vektor AB und vektor CD und soll schauen ob diese kolinear sind... erstmal über die ortsvektoren beide vektoren bestimmen und dann gucken ob diese ein vielfaches voneinader sind...
muss man das vielfache einfach sehen, oder gibts da vorgehensweisen, wie ich das einfacher bzw sicherer machen kann?
hab manchmal so´n brett vorm kopf... :-P
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Schau mal da rein und probiere es dann an diesem Beispiel:



Sind und kollinear?
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

ja sind sie... da für r*b-> alle r -0,2857 sind....
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig; glaube, Du hast es verstanden. Freude

Edit, kleine Anmerkung: ganz richtig wäre es zu sagen r = - (2/7)
Als Dezimalzahl bekommt man ja unendlich viele Nachkommastellen, ein Bruch ist exakter.
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

Folgende frage...
ich soll die lage zueinander prüfen...
g: x->=(5/1/-3)+y(3/0/-4) und h: x->=(-2/11/-11)+µ(-2/5/-6)

kriege ich für y=-1 und für µ=-2

das ganze wieder zurück also y in g und µ in h, dann kriege ich für g=(2/1/1) und für h=(2/1/1)... heißt das jetzt nicht eigentlich, dass die parallel sind?
eigentlich sieht man die parallelität ja an den richtungsvektoren... da hier kein erkennbares vielfaches vorliegt, habe ich die gleichungen gleich gestellt...
angenommen ich hätte jetzt sowas wie g=(4/5/1) und h(4/5/2) rausbekommen, dann wären sie ja windschief oder? und was ist jetzt wenn beide gleichungen gleich sind?
wieso kann ich dann noch nen schnittwinkel ausrechnen?
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

aso... ich berechne mit dem gleichsetzen, den schnittpunkt stimmts?
falls beide die gleichen vektoren rausbekommen, haben sie einen gemeinsamen schnittpkt... krieg ich was anderes raus, dann sind sie windschief und sind die richtungsvektoren vielfaches voneinander, dann sind sie erstmal parallel wobei ich dann noch prüfen muss, ob sie auf einer linie liegen oder nur echt parallel sind...
stimmts so?
durch gleichstellen versuche ich nur einen schnittpunkt zu ermitteln?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, durch Gleichsetzen kommt man zum Schnittpunkt.

Zitat:
Original von Mikey3110
krieg ich was anderes raus, dann sind sie windschief

Wenn sie windschief sind, bekommst Du in Deiner Rechnung irgendwo einen Widerspruch, also eine falsche Aussage. Daraus kannst Du schließen, dass sie keinen Schnittpunkt haben.
Das mit den Richtungsvektoren hast Du verstanden.
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

und bspw um zu prüfen ob ein punkt auf einer geraden liegt mache ich doch folgendes oder?
A(3/2/5) und g: x->=(4/2/1)*µ(1/2/4)

(3/2/5)=(4/2/1)*µ(1/2/4)

ist µ nachher µ=(3/2/5) dann ist der punkt auf der geraden und kommt was anderes raus, dann nicht stimmts?
also drei gleichungen aufstellen...
1.) 3=4*1µ
2.) 2=2*2µ
3.) 5=1*4µ

gibt dann
1.) 3/4=µ
2.) 0,5=µ
3.) 5/4=µ
damit liegt mein punkt nicht auf der geraden....
ist das so richtig?????
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
x->=(4/2/1)*µ(1/2/4)

Nee, diese Gleichung stimmt nicht. Sollte ja die Parameterform sein.
Statt * nimm + und rechne nochmal, also mit:

vec{x}=(4/2/1) + µ(1/2/4)

Ansonsten ist Deine Überlegung richtig.
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

logisch... stimmt... blöder fehler....
folgendes jetzt...
habe hier eine ebenengleichung in koordinatenform.....

E: x->=(1/2/0)+µ(6/0/0)+t(3/1/-2)

habe das jetzt über´s determinatenverfahren gelöst...
komme dann auf 6x-drei-12x-zwei+24

meine lehrerin hat aber unter der aufgabe stehen (teilergebnis: 2x-zwei+x-drei-4=0)

ist meine umformung in parameterform falsch?
kann das mal einer vllt nachgucken?

ach ja...
dann hätte ich noch eine frage....
Wenn ich die reine geradengleichung nehme... also x->=(1/2/0)+µ(6/0/0) welche besondere lage soll sie dann haben?

ich würde sagen da x2 und x3 null sind, ist die gerade parallel zur x2/3 ebene....
Höhlentroll Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich das richtig sehe ist deine Lösung ein vielfaches der Musterlösung (teil mal durch 6) nur die Vorzeichen passen nich so ganz

an den Koordinaten des Richtungsvektors der Gerade siehst du dass er parallel zur x1-Achse verläuft da x2 und x3 null sind
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

das ergebnis deiner lehrerin ist richtig Augenzwinkern
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

oar... die ver..... vorzeichen.... :-D
ja mit dem vielfachen hatte ich selbst gesehen aber war irgendwie nicht in der lage richtig zu dividieren... :-D
wäre dann n feiner ärgerlicher folgefehler gewesen...
naja...
danke euch!!!
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallöle!!!
Mal zwei fragen...
Kann einer vllt mal folgende aufgaben kontrollieren?

Habe die Punkte A(1/-6/4) B(4/3/2)

somit ist meine geradengleichung

x->=(1/-6/4)+µ(3(9/-2)

jetzt soll ich gucken wo die gerade die x2/x3 ebene schneidet...
somit habe ich x1=0 gesetzt und kriege für den schnittpunkt (0/-9/4 2/3) raus...
stimmt das?

und weiter....

soll gucken ob die gerade einen pkt mit der x1-Achse gemeinsam hat...
dafür habe ich x2 und x3 null gesetzt, kriege für µ einmal 2/3 und einmal -2... somit gehe ich davon aus, dass sie keinen gemeinsamen pkt haben... ist das so richtig?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene:
Wenn Du x1 Null setzt, bekommst Du 0 = 1 + 3µ
µ = ?

Zum eventuellen Schnittpunkt mit der x1-Achse:
Deine Aussage stimmt, dass es keinen Schnittpunkt gibt, aber das zweite µ ist wieder falsch. x3 = 0, daraus folgt 0 = 4 - 2µ
µ = ?
Zirkon17 Auf diesen Beitrag antworten »

sodele.... jetzt nochmal resumé..
schhreibe am samstag mathe klausur....

also...
wenn ich lage zueinander prüfen will, dann setze ich die geraden gleich... eliminiere eine variable und gucke dann ob für bspw µ bei x1,2,3 das gleiche raus kommt...
wenn nicht das gleiche raus kommt und die richtungsvektoren auch kein vielfaches voneinander sind, dann sind sie entweder windschief (wenn die gleichung nicht auf geht) oder sie schneiden sich und ich bekomme einen schnittpkt... stimmts?

um zu schauen ob bspw eine gerade eine ebene schneidet, bzw wenn ich die lage von S ermitteln soll, setze ich auch gerade und ebene gleich, rechne am einfachsten die variable der geradengleichung aus und setze diese variable dann in die geradengleichung ein und kriege meinen schnittpkt....

wenn ich die schnittgerade von zwei ebenen ermitteln will, dann bringe ich eine in koordinatenform setze die andere x1; X2; x3 und dann entsprechend in die koordinatengleichung ein...


um zu schauen ob zwei ebenen parallel sind, rechne ich doch am besten bei beiden den normalvektor aus oder? wenn beide normal vektoren vielfaches voneinander sind, dann sind sie parallel... stimmts? oder gibts noch andere möglichkeiten?

dann noch eine frage.... wie komme ich den an die "lotgerade" einer geraden?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
dann noch eine frage.... wie komme ich den an die "lotgerade" einer geraden?

In R³ gibt es unendlich viele Möglichkeiten von Lotgeraden zu einer gegebenen.
Nimm den Richtungsvektor der Geraden und erstelle dazu einen neuen, der dazu orthogonal ist. Nutze dazu z. B. das Skalarprodukt.


Zitat:
wenn ich lage zueinander prüfen will, dann setze ich die geraden gleich... eliminiere eine variable und gucke dann ob für bspw µ bei x1,2,3 das gleiche raus kommt... wenn nicht das gleiche raus kommt und die richtungsvektoren auch kein vielfaches voneinander sind, dann sind sie entweder windschief (wenn die gleichung nicht auf geht) oder sie schneiden sich und ich bekomme einen schnittpkt... stimmts?

- Wenn Du einen Schnittpunkt bekommst, ist die Sache ja klar.

- Wenn Du keinen bekommst, merkst Du es daran, dass Du widersprüchliche Aussagen in den Gleichungen hast; meistens gibt es zu ein und demselben Ri-Vek verschiedene Werte.
Dann sind die G entweder parallel -->siehst Du an linear abhängigen Ri-Vek;
oder sie kreuzen sich --> Ri-Vek sind linear unabhängig.
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