Normale Konvergenz

08.04.2010, 16:43	mario20	Auf diesen Beitrag antworten »
Normale Konvergenz Hallo, normale Konvergenz haben wir definiert als: Eine Reihe von Funktionen $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} f_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_n: \Omega \to \mathbb{C} \end{eqnarray}$ heißt normal konvergent in $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , wenn zu jedem Punkt $\begin{eqnarray} \omega \in \Omega \end{eqnarray}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ und eine Folge $\begin{eqnarray} (M_n) \end{eqnarray}$ nichtnegativer Zahlen existiert mit $\begin{eqnarray} \|f_n(z)\| \leq M_n \quad \forall_{z \in \Omega \cap U} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} M_n < \infty \end{eqnarray}$ . Als Beispiel haben wir $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{z-n} \end{eqnarray}$ aufgeschrieben, welche in $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \setminus \mathbb{N} \end{eqnarray}$ lokal gleichmäßig, aber nicht normal konvergieren soll. Wie kann man denn zeigen, dass das Beispiel nicht normal konvergiert. D.h. ja, es existiert keine Folge solcher $\begin{eqnarray} M_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{z-n}\| \leq M_n \end{eqnarray}$ . Aber wie sieht man das denn?
08.04.2010, 19:03	Sagoth	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normale Konvergenz da (-1)^n hast du immer einen Wechsel zwischen einer positiven und einer negativen Zahl hast du schonmal keine fallende oder steigende monotonie. Man sagt die Folge alterniert. weiter kann man sagen, das a index n größer gleich -1 ist und somit gleich a index 1 ist. Und die Zahlenfolge ist eine Nullfolge da lim n gegen unendlich gleich 0 ist, da für die Umgebung von 0 unendlich viele Glieder zur verfügung stehen man spricht hier auch von einer Nullfolge.
08.04.2010, 19:12	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, in diesem konkreten Fall kannst du dir ja z.B. mal den Punkt $\begin{eqnarray} z=1/2 \end{eqnarray}$ anschauen und annehmen es gäbe solche $\begin{eqnarray} M_n \end{eqnarray}$ , s.d. $\begin{eqnarray} \sum M_n < \infty \end{eqnarray}$ Tipp: Schau dir auch die Folge $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ an! Und versuche damit einen Widerspruch zu finden. @Sagoth: Huh? Weiss nicht, was dein Kommentar bringen soll...

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