Mengenoperation Beweis

08.04.2010, 19:13	Tsetsefliege	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenoperation Beweis Seien A, B Mengen. Zeigen Sie: (a) $\begin{eqnarray} B\subseteq A \Rightarrow A \cup B = A und A\cap B=B \end{eqnarray}$ Wie zeige ich das am schnellsten? Ich würde zuerst zeigen, dass a ein Element von B und a,b Element von A sind. Daraus folgt ja dann schon unmittelbar das B eine Teilmenge von A ist. $\begin{eqnarray} a \in B \wedge a,b\in A\Rightarrow B\subseteq A \end{eqnarray}$
08.04.2010, 19:19	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe deine Idee nicht ganz. Aber man macht das gewöhnlich wie folgt: Zeige zuerst, dass unter dieser Voraussetzung $\begin{eqnarray} A \cup B \subset A \end{eqnarray}$ ist und dann, dass auch $\begin{eqnarray} A \subset A \cup B \end{eqnarray}$ gilt. Insgesamt muss also Gleichheit herrschen. (also nimmst du ein beliebiges Element $\begin{eqnarray} x \in A \cup B \end{eqnarray}$ und zeigst, dass es dann auch in A ist. Und umgekehrt.)
08.04.2010, 19:46	Tsetsefliege	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst warsch das Zeichen $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ Wenn es nämlich eine echte Teilmenge wäre dann könnten A und B nicht gleich sein. $\begin{eqnarray} x\in A\cup B \wedge x\in A => A\vee B\subseteq A \Rightarrow B\subseteq A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A\subseteq A\cup B\Rightarrow A\subseteq A\vee B\Rightarrow A\subseteq B \end{eqnarray}$ , daraus folgt das A = B Richtig?
08.04.2010, 20:04	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm... Also mal vorab: die Notation ist leider unter Mathematikern nicht einheitlich. Aber wir können das Ganze natürlich gerne in deiner Notation machen. Dann $\begin{eqnarray} B \subseteq A \end{eqnarray}$ ist ja die einzige Voraussetzung, also kannst du sicher nicht folgern, dass A=B sein muss. Übrigens ist es auch erlaubt Worte zu benutzen, denn die ganze "Zeichensprache" ist nicht unbedingt immer einfacher zu entziffern. Ich mach mal den Anfang, damit du mal ein Beispiel hast: Ich will zeigen: $\begin{eqnarray} A \cup B \subseteq A \end{eqnarray}$ Sei also $\begin{eqnarray} x \in A \cup B \end{eqnarray}$ beliebig. $\begin{eqnarray} x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \quad oder \quad x \in B \end{eqnarray}$ Also entweder $\begin{eqnarray} x \in A \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x \in B \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} x \in B \Rightarrow x \in A \end{eqnarray}$ , nach Voraussetzung. Gesamthaft haben wir also gezeigt, dass $\begin{eqnarray} x \in A \cup B \Rightarrow x \in A \end{eqnarray}$ . Da x beliebig war, können wir also schliessen, dass $\begin{eqnarray} A \cup B \subseteq A \end{eqnarray}$ . Das ist mal ein formales Beispiel. Natürlich könnte man das Ganze auch abkürzen, aber der Aufgabe selbst entnehme ich mal, dass ihr gerade erst angefangen habt. Also solltest du wahrscheinlich auch die Beweise formal sauber aufschreiben.

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