Beweis Existenz von Unterkörpern von endlichen Körpern

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TobeStar81 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Existenz von Unterkörpern von endlichen Körpern
Hi Zusammen,

ich sitze gerade an dem Beweis, dass ein Körper mit Elementen, für jeden Teiler m von n (bis auf Isomorphie) genau einen Unterkörper mit besitzt. Eigentich ist mir fast alles klar, aber es gibt da ein Argument und da stehe ich auf dem Schlauch. Es wird das Polynom



betrachtet und dann steht dort, da m ein Teiler von n ist, ist



ein Teiler von



Warum ist das so? Mir ist das irgendwie nicht ganz klar. Ich habe irgendwie den Verdacht, dass das mit der Frobenius-Abbildung zusammenhängt, bin mir da aber nicht sicher...

Vielleicht kann mir da einer von euch weiterhelfen, habe nämlich den leisen Verdacht, dass die Antwort ganz simpel ist, ich aber einfach Tomaten auf den Augen, bzw. Synapsenzusammenschlussprobleme im Gehirn habe LOL Hammer

Danke und Gruß
Tobias
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das liegt daran dass die Nullstellen einfach diesselben sind. Die NST sind gerade die 0 und die -ten Einheitswurzeln. Diese sind aber auch -te Einheitswurzeln da was man elementar nachrechnen kann.
TobeStar81 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo kiste,

vielen Dank. Ich wusste doch, dass man die Antwort in zwei Zeilen packen kann smile
Ich lass mir das jetzt noch einmal ganz in Ruhe durch den Kopf gehen, falls es jetzt immer noch nicht "klick" macht, melde ich mich noch einmal.

Gruß!
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Rein rechnerisch kann man mit geometrischen Summen argumentieren:
Es sei n = m q. Dann kann wie folgt gezeigt werden, dass die fragliche Polynomdivision f zum Quotienten hat.
(Es steckt nur die Summenformel der geometrischen Folge zweimal drin.)

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