Konvergenz/Grenzwert durch vollständige Induktion beweisen

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hamlax Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz/Grenzwert durch vollständige Induktion beweisen
Hallo,

ist es ein legitim eine Grenzwertannahme durch vollständige Induktion zu beweisen?

Für folgendes Beispiel erschien es mir sinnvoll:



Ich habe einfach bewiesen dass



gilt für alle n > 1. Damit ist gezeigt dass der Nenner schneller wächst als der Zähler und damit die Folge gegen 0 geht. Kommt das so hin ?
giles Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz/Grenzwert durch vollständige Induktion beweisen
Zitat:
Original von hamlax
Damit ist gezeigt dass der Nenner schneller wächst als der Zähler und damit die Folge gegen 0 geht. Kommt das so hin ?

Nein und nein.
Beispiel:

für alle n aber damit ist noch lange nicht gezeigt, dass "der Nenner schneller wächst als der Zähler und damit die Folge gegen 0 geht".
hamlax Auf diesen Beitrag antworten »

mist das stimmt :-(

wie gehe ich denn am besten an sone fakultätengeschichte ran ?
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Hier kann man mal kreativ werden. Augenzwinkern Schreib es mal aus



Guck dir mal die letzten 3 Faktoren (d.h. du brauchst ein n gewisser Größe für diese Abschätzung) an



Mit dieser Zusammenfassung sind alle Faktoren echt kleiner 1. Damit sieht man jetzt eine elementare Majorante. Da kann man das dann Sandwichen.
hamlax Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von giles



Mir ist nicht so ganz bewusst warum du im Nenner einfach n nehmen kannst wenn doch n^(n+1) da steht ? Zähler ist mir klar.

Und wie funktioniert das mit dem abschätzen ? warum darf man das ?
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Dann denk da noch mal drüber nach.
 
 
hamlax Auf diesen Beitrag antworten »

Jau jetzt klingelts. Du läufst ja bis n+1 durch ist ja das gleiche wie n^(n+1).

Aber das mit dem abschätzen ist mir immenoch nicht ganz schlüssig .
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde dir ja gern antworten, aber du hast ja nicht mal eine vernünftige Frage gestellt. "das mit dem abschätzen" und "warum darf man das" klingt für mich, als hättest du nicht darüber nachgedacht.

Welche Abschätzung meinst du denn und warum sollte man was nicht dürfen?

Ihr hattet sicher in der Vorlesung dass für zwei Folgen gilt

hier wird das jetzt einmal zur Anwendung des Sandwich-Theorems benutzt.
hamlax Auf diesen Beitrag antworten »

Also du ziehst die letzten 3 einfach raus (n/n) lässt du weg weil sowieso 1.

Dann bleibt was dann ist.

Das ist < 1. Alles was davor war geht ja gegen 0 also >0.

Der Einschließungssatz besagt mir doch nun dass beide Folgen zusammengefasst irgendwo zwischen 0 und 1 liegen.
Aber den Grenzwert habe ich ja dann trotzdem noch nicht unglücklich
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, aber wie kommst du darauf, den letzten Faktor als Majorante zu nehmen? Das ist doch reichlich ungeschickt, du willst ja eine Nullfolge haben die das majorisiert.... dann gucken wir uns das noch mal an
Zitat:

was dich jetzt davon abhält, das einfach durch eine Nullfolge nach oben abzuschätzen, ist der letzte Faktor, da der eben größer als 1 ist. Jetzt musst du das irgendwie kontrollieren, dazu habe ich die letzten Faktoren zusammengefasst. Dann sind alle Faktoren <1 und folglich wird es wenn man sie weglässt nur größer.
hamlax Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben das Majorantenkriterium noch nicht durchgenommen in der Vorlesung insofern denke ich sollte ich mich darauf nicht beziehen.

Ich hoffe mal ich hab das so ansatzweise richtig verstanden.

Wir gehen davon aus dass der Grenzwert 0 ist.

Der einzige Faktor der > 1 ist ist ja (n+1)/n, also hast du den zusammengefasst mit (n-1)/n.

Somit sind alle Faktoren < 1 und damit geht das gesamte ding gegen 0. Ist das als Begründung ausreichend?
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist kein "Majorantenkriterium"... das ist eine einfache Abschätzung. Und nein, das ist nicht ausreichend als Begründung! Die letzten Faktoren konvergieren ja schon wieder gegen 1!

Mal anders versucht: Du hast eine Folge für die eine Folge existiert so dass mit dann gilt


also im limes
d.h.



Siehst du das ein?
hamlax Auf diesen Beitrag antworten »

Also nur mal zum Verständnis.

Alle Folgenglieder in x_n sind kleiner als das jeweilige Folgenglied in a_n.

Dann leuchtet mir das was du da hingeschrieben hast ein.

Aber ich weiß noch nicht genau wie ich das jetzt auf mein Beispiel übertrage.

Sorry wenn das ne schwere Geburt ist, das Thema ist komplett neu für mich.
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Ein mal ist immer das erste mal. Gucken wir uns noch mal die Gleichung an:


alle Faktoren sind jetzt <1, wenn wir sie weglassen wird es also größer:

hamlax Auf diesen Beitrag antworten »

Dank für deine Geduld smile .

Auch das leuchtet mir ein. Heißt je mehr Faktoren ich weglasse desto mehr geht die Folge gegen 1.
Heißt je mehr ich drin lasse bzw. je weiter ich n laufen lasse desto mehr geht die Folge gegen 0.

So, aber da fehlt doch bestimmt noch etwas oder ?
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Ja je mehr du weglässt, desto langsamer läuft sie gegen 0. Das macht aber nichts, du musst es ja nur auf eine Folge zurückführen, die irgendwie gegen 0 läuft, dann ist der Grenzwert schon klar. Zeig jetzt mal, dass damit



gilt, dann bist du fertig.
hamlax Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann versuchen wir es mal ...

wenn wir

auf einen bruchstrich bringen kommt da raus



das ausmultipliziert ist kleiner 1.



Da alle Faktoren hinter 1/n kleiner 1 sind muss die folge an sich auch < 1/n sein.

So, haben wirds damit ?
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
auf einen bruchstrich bringen kommt da raus


Na also das kommt da nicht raus.



dann ists aber richtig. Freude
hamlax Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfe smile
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