Ebenengleichung

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sandra5489 Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenengleichung
Meine Frage:
gerade, quadratische Pyramide:
A=(1/13/7)
B=(13/17/1)
C=(17/23/13)
D=(5/19/19)
S=(15/6/14)

Ich muss eine Ebenengleichung für die Grundfläche ABCD angeben und eine Ebenengleichung für die Seitenfläche ABS.

Meine Ideen:
Die allgemeine Form einer Ebenengleichung: ax+by+cz=d

Ich bräuchte bitte ein paar Tips, denn ich wüsste gar nicht, wie ich beginnen könnte..

Danke, Lg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der allgemeinen Ebenengleichung kannst du zwar auch beginnen, besser wäre allerdings, mit Stützpunktvektor und zwei Spannvektoren (Richtungsvektoren) zu arbeiten. Bei der allgemeinen Ebenengleichung musst du (vorübergehend) d = 1 setzen und dann die Konstanten a, b, c mittels dreier Punkte der Ebene ermitteln. Der 4. Punkt muss dann ebenfalls in der Ebene liegen, was du dann auch nachprüfen solltest.

mY+
 
 
sandra5489 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne den Begriff "Stützpunktvektor" leider nicht, deswegen weiß ich auch nicht, wie man diesen berechnet oder mit diesem rechnet..

Wie könnte ich mit der allgemeinen Ebenengleichung beginnen ?

Oder gibt es vielleicht noch einen anderen Weg, um zu den Ebenengleichungen zu kommen ?

Lg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so:

Zitat:
Original von mYthos
...
Bei der allgemeinen Ebenengleichung musst du (vorübergehend) d = 1 setzen und dann die Konstanten a, b, c mittels dreier Punkte der Ebene ermitteln. Der 4. Punkt muss dann ebenfalls in der Ebene liegen, was du dann auch nachprüfen solltest.

mY+


Setze die Koordinaten der drei Punkte nacheinander ein und du hast danach ein lGS in drei Variablen (a, b, c) aufzulösen. Für d kannst du auch eine andere Zahl einsetzen, wenn sie dann die Rechnung angenemer gestaltet.
Der Grund dafür, dass eine Konstante (nicht immer jede beliebige) der Ebenengleichung beliebig gewählt werden kann, ist der, dass die allgemeine Ebenengleichung bis auf einen konstanten Faktor bestimmt ist.

E(x,y,z) = 0 und k*E(x; y, z) = 0 mit k ungleich Null bezeichnet ein und dieselbe Ebene.

mY+
sandra5489 Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Ebenengleichung lautet dann: ax+by+cz=1

Mir ist leider überhaupt nicht klar, was ich jetzt weiter machen soll verwirrt
Ich möchte ja die Ebenengleichung der Grundfläche ABCD haben.
hawe Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe mYthos verzeiht mir, wen ich mich einmische...
Ich würde schon den vorgeschlagenen Lösungweg gehen wollen, wenn er schon mal da ist:
Eine Ebene hat die allgemeine Gleichung
n.( x - P) = 0 mit n Normalenvektor und P ein Punkt in der Ebene. Wenn ich jetzt gleich 4 Punkte habe würde ich die auch alle verbraten wollen und einen Normalenvektor n = BA x BC konstruieren und für P den Punkt D hernehmen:
Du sollstest sowas wie -3*x+6*y-2*z-61=0 herausbekommen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

So, in diese Gleichung kannst du nun statt x, y, z jeweils die Koordinaten eines der vier gegebenen Punkte einsetzen ...





Es genügen bereits drei Punkte von 4. Mit dem 4. Punkt solltest du eben, wie schon gesagt, die Ebenengleichung überprüfen.

Hinweis: Falls die Ebene zufällig durch den Nullpunkt geht, kann d nicht beliebig angenommen werden, es ist dann Null. Das würdest du aber bald bemerken, denn für alle anderen Werte von d würde ein Widerpruch entstehen. In diesem Falle nimm eine andere Variable als bekannt an.

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@hawe

sandra.... kann aber offensichtlich nicht mit Vektoren rechnen, wie sie schon geschrieben hat. Ansonsten wäre dieser Weg auch von mir bevorzugt gewesen. Also den Normalvektor aus dem Kreuzprodukt bilden ...

mY+
sandra5489 Auf diesen Beitrag antworten »

Den Normalvektor habe ich aus dem Kreuzprodukt bilden können.

n=(84/-168/56)

Nun habe ich diese Darstellung:
(84/-168/56)*(X-(5/19/19))=0 ODER (84/-168/56)*X=(84/-168/56)*(5/19/19)

Jedoch weiß ich jetzt wieder nicht weiter unglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Den Normalvektor darfst du durchaus abkürzen, dann rechnet's sich angenehmer. Also den Normalvektor durch 28 dividieren, denn dabei ändert sich die Ebenengleichung nicht.

Und danach einfach ausmultiplizieren!

mY+
sandra5489 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön!!

Das ergibt dann: 3x-6y+2z = -61 smile

Und nun muss ich noch die Ebenengleichung der Seitenfläche ABS ausrechnen.

Welche Richtungsvektoren benötige ich dazu, um wieder Normalvektoren aus deren Kreuzprodukt zu bilden ?

So ganz habe ich da noch nicht durchgeblickt..
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Im Dreieck ABS befinden sich dabei drei mögliche Vektoren: AB, BS und AS.

mY+

(Übrigens: Du hast Antwort in einem deiner anderen Themen)
sandra5489 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich habe die Lösung Freude

Dankeschön smile
sandra5489 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm leider hänge ich schon wieder beim nächsten Punkt..

Nun soll ich den Neigungswinkel zwischen den Seitenflächen berechnen.

Bräuchte leider wieder ein paar Tips unglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Winkel, den zwei Ebenen miteinander einschließen, ist gleich dem Winkel ihrer Normalvektoren (Satz vom Normalwinkel).

mY+
sandra5489 Auf diesen Beitrag antworten »

So habe ich es eh versucht..

Ich habe die Normalwinkel der beiden Ebenen die ich vorher (oben) berechnet habe verwendet, und mit diesen einen Winkel berechnet, jedoch stimmt die Lösung nicht mit der am Lösungsblatt überein..

Ist der Neigungswinkel eine bestimmte Form?
Oder habe ich die falschen Ebenen verwendet?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es sollen ja zwei Seitenflächen betrachtet werden! Wichtig ist auch, dass diese aneinandergrenzen (!). Deine beiden Ebenen waren jedoch die Basis und eine Seitenfläche.

mY+
sandra5489 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich dazu dann die Ebenengleichung von oben verwenden?
Aber was noch?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Pyramide nicht regelmäßig ist, müssen die beiden Seitenflächen dezitiert angegeben sein! Ansonsten kannst du - wie schon gesagt - aneinander liegende Seitenflächen nehmen. ABS hast du schon, also wird wohl eine daran angrenzende Seiten-Ebene zu nehmen sein ... .

mY+
sandra5489 Auf diesen Beitrag antworten »

Also jetzt habe ich mir eine weitere Ebenengleichung ausgerechnet, diesmal von der Seitenfläche BCS (15x-2y-4z=269), aber es kommt wieder das falsche Ergebnis raus verwirrt

Mein Ergebnis ist 101,5° (es sollten 63,4° sein)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ebene BCS ist richtig. Für den Winkel habe ich so wie du 101,54°. Vielleicht ist doch der Winkel einer Seitenfläche zur Basis gemeint? Nein, der kann's auch nicht sein, denn der ist 84,24° ...

mY+
sandra5489 Auf diesen Beitrag antworten »

Komisch verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das Lösungsheft ist auch nicht immer fehlerfrei.

mY+
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