Induzierte stetige Abb. zweier Spektren - Spektrum eines Ringes

10.04.2010, 12:10	Jan_R.	Auf diesen Beitrag antworten »
Induzierte stetige Abb. zweier Spektren - Spektrum eines Ringes Hallo. Für einen Homomorphismus $\begin{eqnarray} \Phi:A\to B \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} \Phi^:\mathrm{Spec}(B)\to\mathrm{Spec}(A) \end{eqnarray}$ die induzierte Abbildung zwischen den Spektren. Falls $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ treuflach über $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist, so ist $\begin{eqnarray} \Phi^* \end{eqnarray}$ surjektiv und $\begin{eqnarray} \mathrm {im} (\Phi^) \end{eqnarray}$ ist dicht in $\begin{eqnarray} \mathrm {Spec} (A) \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ injektiv. Für $\begin{eqnarray} A=\mathbb Q [[T]] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K=Q(A) \end{eqnarray}$ (Quotientenkörper) setze man $\begin{eqnarray} B=\mathbb Q \times K \end{eqnarray}$ und def. $\begin{eqnarray} \Phi:A\to B \end{eqnarray}$ vermöge $\begin{eqnarray} \Phi(g)=\left ( a_0, \frac{g}{1} \right ) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} g=\sum a_n X^n \end{eqnarray}$ . Beweisen Sie die folgende Behauptung: $\begin{eqnarray} \Phi^ \end{eqnarray}$ ist zwar bijektiv, aber kein Homöomorphismus. Ich konnte bislang problemlos die Stetigkeit und Surjektivität von $\begin{eqnarray} \Phi^* \end{eqnarray}$ zeigen. Das Hauptproblem ist wohl, $\begin{eqnarray} (\Phi^)^{-1} \end{eqnarray}$ zu konstruieren. Wäre schon, wenn mir jemand dabei helfen könnte... Gruß, Jan

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