Grenzwert mit Integral

10.04.2010, 14:18	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert mit Integral Hallo, ich stehe gerade bei der folgenden Aufgabe auf dem Schlauch: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^3} \int_0^{x^2} \! sinh(7t^2-4 \sqrt(t)) \, dt \end{eqnarray}$ Na ja, habe mir halt gedacht, dass ich das bestimme Integral einfach löse und dann noch den grenzwert betrachte. Aber irgendwie klappt das nicht so ganz, da ich keine Stammfunktion finde. Mathematika spuckt auch nichts aus. Wie geht man hier am besten vor? Grüße Bullet1000
10.04.2010, 14:28	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Darfst du l'Hospital benutzen?
10.04.2010, 14:46	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das hatten wir schon in der Vorlesung. Ach kann ich einfach davon ausgehen, dass hier der Typ (0/0) vorliegt und einfach ableiten?
10.04.2010, 14:49	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach davon ausgehen kannst du nicht, aber zumindest auf den zweiten Blick ist das nicht schwer zu erkennen.
10.04.2010, 14:57	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert mit Integral Das ist natürlich interessant. Also klar ist $\begin{eqnarray} (x^3)'=3x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}\left[\int_0^{x^2} \! sinh(7t^2-4 \sqrt(t)) \, dt \right] = sinh(x^2-4 \sqrt{x}) \end{eqnarray}$ Stimmt das erstmal soweit? Oder muss ich noch etwas beachten?
10.04.2010, 15:01	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Letzteres ist - abgesehen von der vergessenen 7 - nicht richtig. Es ist ja erstmal mit $\begin{eqnarray} F(x)=\int_0^x f(t)dt \end{eqnarray}$ bekannt: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} F(x)=f(x) \end{eqnarray}$ . Nun haben wir aber hier nicht $\begin{eqnarray} F(x) \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} F(x^2) \end{eqnarray}$ .
Anzeige

10.04.2010, 15:08	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... hilft da evtl. die Kettenregel?
10.04.2010, 15:12	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die sollte dir helfen.
10.04.2010, 15:19	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool, also ich versuchs mal. Es müsste ja gelten $\begin{eqnarray} [F(x^2)]'=f(x^2) \cdot 2x \end{eqnarray}$ So, nun weiß ich ja, dann $\begin{eqnarray} f(t)=sinh(7t^2-4 \sqrt{t}) \end{eqnarray}$ ist. Setze ich jetzt einfach in $\begin{eqnarray} f(t) \end{eqnarray}$ einmal $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ ein und dann noch in die innere Ableitung $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ein?
11.04.2010, 16:45	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wäre die Ableitung dann einfach $\begin{eqnarray} sinh(7x^4-4x) \cdot 2x \end{eqnarray}$
11.04.2010, 16:47	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig.
11.04.2010, 16:54	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, wenn ich das richtig sehe,muss ich jetzt tortzdem nocmal l'Hospital anwenden. Ist schon wieder 0/0 Ich komme letztendlich auf einen Grenzwert von $\begin{eqnarray} \frac{-8}{3} \end{eqnarray}$
11.04.2010, 16:57	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, man kann jetzt nochmal l'Hospital anwenden. Gleichwohl kann man aber jetzt auch anders relativ leicht zum Ziel kommen. Das ist jetzt dir überlassen. Auf -8/3 komme ich auch.
11.04.2010, 17:00	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke für die schnelle Antwort

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »