Ableitung - Durchschnittsbeschleunigung

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10.04.2010, 13:03	nonameman 201	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung - Durchschnittsbeschleunigung Meine Frage: Ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Die Anfahrtsbewegung eines Autos wird in den ersten 30 Sekunden durch eine Weg-Zeit_funktion s mit s(t)=-1/50t^3+9/5t^2 bestimmt. Dabei gibt s(t) di bis zum Zeitpunkt t zurückgelegte Strecke an. 1. Bestimme die Momentangeschwindigkeit des Autos nach 20 Sekunden. 2. Berechne die Durschnittsbeschleunigung im Zeitintervall (t1;t2) und die Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt t. Meine Ideen: Die erste Aufgabe habe ich so gerechnet, ich würde gerne wissen ob dies stimmt! be ich die erste Ableitung gebildet, also: $\begin{eqnarray} <br /> s'(t)= - \frac{3}{50}t^{2}+ \frac{18}{5}t \end{eqnarray}$ und in diese Formel habe ich dann für s=20 eingesetzt und dann t ausgerechnet. Dann kommt iregendeine ungerade zahl um 19 raus. Ich glaube da habe ich mich verrechnet . Ich habe mit quadratischer ergänzung weitergerechnet, aber ich weiß leider nicht ob das so richtig ist. Bei der Aufgabe 2 habe ich gar keine Ahnung, ich würde da so Anfangen wie ich das oben bereits gemacht habe. Ich hoffe mir kann jemand helfen. Edit (mY+): LaTex berichtigt.
10.04.2010, 13:19	dasMathegenie	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung - Durchschnittsbeschleunigung 1. Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} s'(t_0) \end{eqnarray}$ . 2. Die Durchschnittsbeschleunigung ist $\begin{eqnarray} \frac{v(t_2) - v(t_1)}{t_2 - t_1} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} v = s' \end{eqnarray}$ die Geschwindigkeit. Die Momentanbeschleunigung ist nun $\begin{eqnarray} v'(t)=? \end{eqnarray}$
10.04.2010, 13:33	nonameman 201	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde mal sagen das v`(t) = s``(t) ist. Bedeutet das dann das ich mit der zweiten Ableitung die Momentbeschleunigung berechnen kann? Und mit der Formel bei Punkt zwei die Durchschnittsbeschleunigung? ist das eine allgemein gültige Formel bei Punkt 2?
10.04.2010, 13:38	dasMathegenie	Auf diesen Beitrag antworten »
Latex scheint bei dir nicht zu klappen... ----------- $\begin{eqnarray} \frac{v(t_2)%20-%20v(t_1)}{t_2%20-%20t_1} \end{eqnarray}$ ... kommt dir das irgendwo bekannt vor? Sekantensteigung? und mit einen Grenzübergang führ es zu $\begin{eqnarray} v' \end{eqnarray}$ , also der Momentanbeschleunigung. $\begin{eqnarray} s''(t) \end{eqnarray}$ gibt die Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ an.
10.04.2010, 14:01	nonameman 201	Auf diesen Beitrag antworten »
ich verstehe das irgendwie noch nicht so ganz mit der durchscnittsbeschleunigung, das mit der momentanbeschleunigung ist mir jetzt klar, danke dir. Ist die durchschnittsbeschleunigung einfach nur die sekantensteigung, oder was?
10.04.2010, 14:54	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, eigentlich ist es viel einfacher, denke ich... Sekantensteigung macht man ja nur beim Thema Ableitung. Und mit Ableitungen hat das hier ja einiges zu tun. Vielleicht überlegen wir uns erst einmal, wie man eine Durchschnittsgeschwindigkeit berechnet. Das kann man sich glaube ich besser vorstellen. nonameman, wie würdest du denn die Durchschnittsgeschwindigkeit des Fehrzeuges in den ersten, sagen wir, 10 Sekunden ausrechnen?
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10.04.2010, 15:09	nonameman 201	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{f(10)-f(1)}{10-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{160-1,78}{9} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =17,58 \end{eqnarray}$ Also wären das ndann 17,58 Meter pro Sekunde! Stimmt das?
10.04.2010, 16:22	Dustin	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber natürlich stimmt das! Also fast Du hast die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen der ersten und zehnten Sekunde berechnet, ich wollte eigentlich die zwischen der nullten und zehnten Sekunde. Macht aber nix, Rechenweg stimmt Ist das soweit logisch für dich? Wenn ja, dann schau dir jetzt nochmal Mathegenies Formel für die Durchschnittsbeschleunigung an und vergleiche das mit deiner Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit.
10.04.2010, 18:02	nonameman 201	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich würde das jetzt so rechen: (bei dem Zeitintervall (1;10)) $\begin{eqnarray} \frac{s'(10)-s'(1)}{10-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{30-3,54}{10-9} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =2,94 \end{eqnarray}$ Wenn das jetzt stimmt, dann habe ich es verstanden Danke an euch!!! Eine Frage noch: Ist die Momentangeschwindigkeit, dasselbe wie die momentane Änderungsrate? und in welche Einheit gebe ich die Beschleunigung an, auch in Meter pro Sekunde, oder?
10.04.2010, 18:22	nonameman 201	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu der Aufgabe gibt es noch eine Aufgabe: Wann erreicht das Auto die Geschwindigkeit 20 m/s ? Ich habe das so gerechnet: $\begin{eqnarray} 20=s'(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 20 = -\frac{3}{50}t^{2}+\frac{18}{5}t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -333,3=t^{2}-60t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -333,3=t^{2}-60t+30^{2}-30^{2} \end{eqnarray}$ <-- Quadratische Ergänzung $\begin{eqnarray} 566,67=(t-30)^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t=53,8 \vee t=6,2 \end{eqnarray}$ Stimmt die Rechnung und/oder sind dort Fehler drin? Wiso gibt es zwei Ergebnisse?

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