Vom Autofenster zur Funktion! |
| 10.04.2010, 15:33 | Firefox10 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Vom Autofenster zur Funktion! Ich bin neu hier und begrüße Euch erstmal recht herzlich! Ich möchte mich an Euch wenden, um für folgende, sehr interessante Aufgabe Euren Rat zu hören. Und zwar geht es um eine Autofensterscheibe, deren Randfunktion man bestimmen soll (also der obere Rand eines linken Autofensters). Dazu habe ich bereits den Rand auf Transparentpapier abgezeichnet und mithilfe von Milimeterpapier eine Wertetabelle gemacht. Diese Tabelle habe ich anbei eingefügt. Die Frage ist nun was es überhaupt für ein Funktionstyp sein könnte. Ich dachte da an eine Wurzelfunktion wie auf dem Blatt. Wäre erstmal so eine Vermutung, da diese Art von Funktion sich schon ganz gut den Werten der Wertetabelle nähert. Vielleicht hättet ihr ja auch noch die ein oder andere Idee bezüglich einer geeigneten Randfunktion. Viele Grüße Firefox PS: das mit dem hochladen der tabelle klappt irgendwie nicht 
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| 10.04.2010, 19:10 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mit der von dir vorgeschlagenen Funktion erreicht man eine passable Näherung. Allerdings ist der letzte Messwert (bei x = 22) nur schwer ausreichend zu approximieren. Ob dies für die Praxis ausreicht, mag dahingestellt bleiben. Wie hast du nun die Koeffizienten dieser Funktion bestimmt? Mit dem Solver in Excel (Methode der kleinsten Summe der Fehlerquadrate) ergeben sich a = 3,048, b = 1,836 und c = 0,752 und damit erreicht man ein Bestimmtheitsmaß von ca. 96,5% (rote Kurve in der Grafik). Eine bessere Näherung (Korrel = 99,6%, Best.maß = 99,1%) ergibt eine polynomische Kurve 3. Grades. Siehe die grüne Kurve in der Grafik. [attach]14188[/attach] mY+ |
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| 10.04.2010, 21:01 | Firefox10 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank schonmal für deine Mühe! Die Koeffizienten habe ich bisher nur durch Ausprobieren bestimmt und hatte mit a=1,1 ; b=0,6 und c=0,53 komischerweise eine ganz gute Annäherung, deshalb bin ich gerade über die von dir bestimmten Koeffizienten verwundert, wobei ja die Regressionskurve schon an meine Messwerte gut rankommt. Vielleicht ist mir auch beim Einsetzen ein Fehler unterlaufen, aber wenn ich die Parameter a = 3,048, b = 1,836 und c = 0,752 in meine aufgestellte Wurzelfunktion einsetze, dann kommen da ganz andere Werte heraus 
Die Idee mit der polynomischen Kurve find ich sehr gut, wie bist Du auf diese polynomische Kurve 3. Grades mit den dargestellten Koeffizienten gekommen? Firefox |
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| 10.04.2010, 21:20 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die polynomische Kurve wurde ebenfalls mittels "Trendlinie hinzufügen" in Excel erstellt. Praktisch ergibt sich auch dieselbe Kurve, wenn man deren Koeffizienten mittels der Methode der kleinsten Summe der Fehlerquadrate bestimmt, analog dazu, wie es auch bei der Wurzelfunktion gemacht wurde. Die von dir ermittelte Wurzelfunktion passt sich im unteren x-Bereich recht gut der vorgegebenen Kurve an, ab x = 19 sind jedoch die Abweichungen nach unten relativ groß. Es kommt eben darauf an, in welchem Bereich die Genauigkeit hoch sein soll und wo eine Abweichung leichter toleriert werden kann. Mathematisch wird bei einer Regressionsanalyse immer versucht, die Kurve im ganzen Messbereich zu optimieren, was unter Umständen zur Folge haben kann, dass die Fehlerdifferenzen in einzelnen Bereichen größer werden können. Man kann auch versuchen, einzelne "Ausreisser-Punkte" aus der Berechnung herauszunehmen. Umso besser ist dann die Übereinstimmung bei den restlichen Punkten. mY+ |
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| 10.04.2010, 21:58 | Firefox10 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das eigentliche Problem, was sich bei mir ergibt ist, dass ich mithilfe einer geeigneten Randfunktion die Bogenlänge bestimmen muss. Anhand meiner Messungen des oberen Randes des Autofensters ergab sich, dass ab x=22 der y-Wert nahezu konstant bleibt (etwa 72,5cm). Wichtig wären daher für mich die Bereiche von x=0 bis x=22. Die Randfunktion müsste sich, so gut es eben geht, an den Verlauf des "realen" Bogens der Autofensterscheibe anpassen können, damit ich nachher bei der Berechnung der Bogenlänge ein der Realität nahekommendes Ergebnis vorweisen kann. Nochmal zu den Werten der Regressionsanalyse: Die Werte für yi=f(xi) ergaben sich tatsächlich für die Parameter a = 3,048, b = 1,836 und c = 0,752? Beim Nachrechnen haben sich wie gesagt andere Ergebnisse als in der Spalte yi=f(xi) ergeben. Gruß, Firefox10 |
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| 10.04.2010, 22:32 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich nehme jetzt nicht an, dass Excel falsch rechnet. Dies gilt jetzt für deine angenäherte Wurzelfunktion. Hast du dies auch mit Excel gerechnet? Zur Kontrolle, die Formel für f(xi) lautet z.B, für D10: =((B10+$H$7)*(WURZEL(B10+$H$7) -$H$8))*$H$9 Wie du auch sehen kannst, besteht gerade bei x = 22 eine ziemlich große Fehlerdifferenz (12,8), mit deinen Koeffizienten sind es sogar 21. ________________ Zum Vergleich die Werte, die sich bei polynomischer Regression ergeben: [attach]14192[/attach] Übrigens: Mit einer Kurve 4. Grades wird es noch ein wenig genauer. mY+ |
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| 10.04.2010, 23:12 | Firefox10 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Beim Nachrechnen der Werte für die polynomische Regression ergeben sich bei mir die gleichen Werte! Vielleicht habe ich bei der Wurzelfunktion mit den Klammern etwas falsch gemacht... ich hatte es mit meinem Taschenrechner nachgerechnet. Wie dem auch sei, mit dem Polynom sind die Werte ja viel genauer, sodass ich dazu geneigt bin, meine ursprünglich gedachte Wurzelfunktion fallen zu lassen. Nochmal zu der Regressionsanalyse: Ich habe das vorher noch nie ausprobiert, braucht man da neben Excel noch ein zusätzliches Programm? Nochmals vielen Dank für die bereits gemachte Mühe! Gruß, Firefox |
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| 10.04.2010, 23:27 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es ist kein zusätzliches Programm nötig. Wenn du die Tabelle mit allen Werten erstellt hast, wird mittels des Solvers (Addon in Extras) die Summe der Fehlerquadrate minimiert. Die Koeffizienten des Polynomes (rechts neben a, b, c, d) sind dabei die veränderbaren Zellen, in der Zielzelle steht die zu minimierende Summe. Das Ganze kann allerdings auch ganz automatisch erledigt werden, indem man vom Programm zu der gegebenen Kurve eine Trendlinie erstellen (hinzufügen) lässt. In den Optionen kann man den Kurventyp (und bei Polynomen den Grad) wählen und sich die Gleichung und das Bestimmtheitsmaß ("Güte" der Übereinstimmung der Regressionskurve mit der gegebenen Kurve) anzeigen lassen. mY+ |
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| 11.04.2010, 14:34 | Firefox10 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gibt es für den Excel Solver vielleicht so etwas wie eine Bedienungsanleitung? Habe selbst schonmal nachgeschaut, bin aber nicht fündig geworden. Habe bei der Benutzung des Solvers noch ein wenig Schwierigkeiten. Gruß, Firefox |
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| 12.04.2010, 11:37 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
In der Hilfe zu Excel selbst ist das bereits sehr gut erklärt. Überdies gibt es im Netz unzählige gute Links dazu. Hast du überhaupt schon mal danach gesucht? Ich kann mir nicht vorstellen, dass du da nichts gefunden hast. Du kannst dir mein XLS hier runterladen. [attach]14219[/attach] mY+ |
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