Induktion Summe über Summe

10.04.2010, 15:40

Tomm

Induktion Summe über Summe

Meine Frage:
Hallo,

ich komme bei der Induktion nicht weiter:

\sum\limits_{a=1}^n \sum\limits_{a=b}^n b = \sum\limits_{a=1}^n a^{2}

Meine Ideen:
Ich habe es bis hier auflösen können:

\sum\limits_{a=1}^{n+1} \sum\limits_{a=b}^{n+1} b = \sum\limits_{a=1}^{n+1} a^{2}

\sum\limits_{a=1}^{n+1} * \sum\limits_{a=b}^{n+1} b = \sum\limits_{a=1}^{n} a^{2} + (n+1)^2

\sum\limits_{a=1}^{n+1} * (\sum\limits_{a=b}^{n} b + (n+1)) = \sum\limits_{a=1}^{n} a^{2} + (n+1)^2

Jetzt stehe ich aber auf dem Schlauch. Wie muss ich mit dem * umgehen, wenn ich bei der ersten Summe den letzten Summanden abspalten will?
\sum\limits_{a=1}^{n+1} * (\sum\limits_{a=b}^{n} b + (n+1) + \sum\limits_{n+1}^{n} b + (n+1)) = \sum\limits_{a=1}^{n} a^{2} + (n+1)^2

ergibt die Zweite Summe in der Klammer einer leere Summe (0). Fuer Tipps bin ich sehr dankbar.

10.04.2010, 15:49

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RE: Induktion Summe über Summe

Zitat:

Original von Tomm
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{a=1}^n \sum\limits_{a=b}^n b = \sum\limits_{a=1}^n a^{2} \end{eqnarray*}$

Irgendwas stimmt hier nicht links: In einer richtigen Doppelsumme sollten die beiden Summationsindizes unterschiedliche Variablen sein. Bei dir sind beide mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Meinst du nicht eher

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{a=1}^n \sum\limits_{b=a}^n b = \sum\limits_{a=1}^n a^{2} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

10.04.2010, 15:55

Tomm

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RE: Induktion Summe über Summe
Du hast natuerlich Recht!. Hier nochmal korrigiert:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{a=1}^n \sum\limits_{b=a}^n b = \sum\limits_{a=1}^n a^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{a=1}^{n+1} \sum\limits_{b=a}^{n+1} b = \sum\limits_{a=1}^{n+1} a^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{a=1}^{n+1} * \sum\limits_{a=b}^{n+1} b = \sum\limits_{a=1}^{n} a^{2} + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{a=1}^{n+1} * (\sum\limits_{a=b}^{n} b + (n+1)) = \sum\limits_{a=1}^{n} a^{2} + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt stehe ich aber auf dem Schlauch. Wie muss ich mit dem * umgehen, wenn ich bei der ersten Summe den letzten Summanden abspalten will?
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{a=1}^{n+1} * (\sum\limits_{a=b}^{n} b + (n+1) + \sum\limits_{n+1}^{n} b + (n+1)) = \sum\limits_{a=1}^{n} a^{2} + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

10.04.2010, 15:59

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Tut mir leid, ich kann auf deine nach wie falschen Doppelsummen mit doppelten Index $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ einfach nicht inhaltlich eingehen. unglücklich

-----------------------------

Du solltest zunächst den letzten $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ -Summanden, also den für $\begin{eqnarray*} a=n+1 \end{eqnarray*}$ abspalten. Ich mache es mal "überausführlich":

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{a=1}^{n+1} \sum\limits_{b=a}^{n+1} b = \sum\limits_{a=1}^n \sum\limits_{b=a}^{n+1} b ~ + ~ \sum\limits_{b=n+1}^{n+1} b = \sum\limits_{a=1}^n \left( \sum\limits_{b=a}^n b ~ + ~ (n+1) \right) ~ + ~ (n+1) \end{eqnarray*}$ .

Deine Bemerkung mit dem * ist rätselhaft: Da gibt es kein Produkt o.ä. zu betrachten, es geht hier um eine Doppelsumme. Wahrscheinlich denkst du dabei an irgendwelche Umformungen basierend auf dem Distributivgesetz.

10.04.2010, 21:02

Tomm

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Hy Artur.

Ich habe bei meiner "Korrektur" dummer weise nur den ersten Ausdruck angepasst.
Danke für die ausführliche Berechnung - hat Klick gemacht.

Mir wurde erkärt, dass zwischen den Summenzeichen ein "nicht sichtbares" Mal steht, wie z.B. 3x. Das schein wohl falsch zu sein.

Ich muss den Ausdruck jetzt noch auf eine Form bringen wo ich meine Induktionsannahme einsetzen kann bringen. Doch wie bekomme ich das (n+1) aus der 2. Summe?

11.04.2010, 10:37

tmo

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Zitat:

Original von Tomm
Doch wie bekomme ich das (n+1) aus der 2. Summe?

Du kannst die Summe doch nach Kommutativ- und Assoziativgesetz umformen.

Also: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n (a_i + b_i) = \sum_{i=1}^n a_i + \sum_{i=1}^n b_i \end{eqnarray*}$

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