Unterraum

10.04.2010, 17:15	Brownie33	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum Meine Frage: Hab Probleme mit der folgenden Aufgabe. Es sei U ein Unterraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ und U(senkrecht):={ $\begin{eqnarray} \vec{x} \in \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \vec{x}\vec{y} \end{eqnarray}$ = 0 für alle $\begin{eqnarray} \vec{y} \in U \end{eqnarray}$ }. Ist die Voraussetzung, dass U ein Unterraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ ist wichtig oder gilt die Aussage auch, wenn U eine beliebige Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ ist? Meine Ideen: Ich hab schon den Beweis erbracht, dass U(senkrecht) ein Unterraum ist. Würde sagen, dass die Voraussetzung hier unwichtig ist, aber kann nicht genau sagen, warum. Wer kann mir helfen?
10.04.2010, 17:18	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum Wie hast du denn den Beweis gemacht? Was ist das besondere an einem UVR? Was fehlt also ggf. alles bei einer Teilmenge?
11.04.2010, 13:21	Brownie33	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum Hab den Beweis so erbracht: (U1) $\begin{eqnarray} \vec{y} \in U \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \vec{x}\vec{y} \end{eqnarray}$ = 0 $\begin{eqnarray} \vec{z} \in U \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \vec{x}\vec{z} \end{eqnarray}$ = 0 $\begin{eqnarray} \vec{y} + \vec{z} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{x}\vec{y} + \vec{x}\vec{z} \end{eqnarray}$ = 0 + 0 = 0 $\begin{eqnarray} \vec{y} + \vec{z} \in U \end{eqnarray}$ (U2) $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb R \alpha(\vec{x}\vec{y}) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} /alpha(0) \end{eqnarray}$ = 0 $\begin{eqnarray} \Rightarrow \in U \end{eqnarray}$ Oder kann ich das auch einfacher/besser beweisen? Mhhh, was fehlt in einer Teilmenge? Ich weiß es nicht. Vielleicht etwas mit dem Nullvektor?
11.04.2010, 13:48	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum $\begin{eqnarray} U^{\perp}:=\{x \in \mathbb R^{n}~\|~ \langle x,y\rangle = 0 ~\forall y \in U\} \end{eqnarray}$ Das ist zunächst nur eine Menge. Du hast imho vergessen zu erwähnen, dass du nachweisen sollst, dass $\begin{eqnarray} U^{\perp} \end{eqnarray}$ ein UVR ist [also in der Aufgabenstellung]. Die Frage ist nun, ob diese UVR Eigenschaft daran gekoppelt ist, dass U ein UVR ist. Zu zeigen: 1. $\begin{eqnarray} U^{\perp} \end{eqnarray}$ ist nichtleer 2. $\begin{eqnarray} U^{\perp} \end{eqnarray}$ ist abgeschlossen bzgl. der Addition 3. $\begin{eqnarray} U^{\perp} \end{eqnarray}$ ist abgeschlossen bzgl. der Skalarmultiplikation Beweis: 1. Es gilt $\begin{eqnarray} 0 \in U^{\perp} \end{eqnarray}$ , denn es gilt $\begin{eqnarray} \langle 0,y\rangle = 0~\forall y \in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ , also insbesondere für alle $\begin{eqnarray} y \in U \end{eqnarray}$ 2. Seien $\begin{eqnarray} u,v \in U^{\perp} \end{eqnarray}$ . Dann gilt für deren Summe $\begin{eqnarray} w:=u+v \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \langle w,y\rangle = \langle u+v,y\rangle \stackrel{\langle,\rangle}= \langle u,y\rangle + \langle v,y\rangle \stackrel{U^\perp}= 0+0 = 0 ~\forall y \in U \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} w \in U^{\perp} \end{eqnarray}$ . 3. $\begin{eqnarray} \langle \lambda x,y\rangle \stackrel{\langle,\rangle}=\lambda \langle x,y\rangle \stackrel{U^\perp}= \lambda \cdot 0 = 0 ~\forall y \in U \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \lambda x \in U^{\perp} \end{eqnarray}$ . Wir benutzen also nirgends die UVR Eigenschaft von U. Eine Teilmenge wäre z.B. nur ein einzelner Punkt. Was erhältst du dann zum Beispiel für $\begin{eqnarray} U^{\perp} \end{eqnarray}$ ?
11.04.2010, 15:22	Brownie33	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum Würde jetzt sagen, dass die Aussage unwichtig ist und dass es sich hierbei auch um eine Teilmenge halten kann, da wir ja in unserem Beweis nirgendwo die UVR Eigenschaften benutzen mussten. Oder muss ich dazu noch was anderes sagen? Was ist denn dann der große Unterscheid zwischen einer Teilmenge und einem Unterraum?
11.04.2010, 15:25	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterraum Na da kommst du doch nun wirklich selbst drauf, wo da der Unterschied liegt. Jeder UVR ist eine Teilmenge, aber nicht jede Teilmenge ist ein UVR. Und ferner wäre ich dir dankbar, wenn du mal zu meiner PN Stellung beziehen würdest.
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