Unendlicher Körper

10.04.2010, 18:21

Sete

Unendlicher Körper

Sei $\begin{eqnarray*} A =a_{i,j} \in K^{nxn} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \geq, a_{i,j} = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i = 1,...,n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{i,j} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ . Sei K

a) Ein unendlciher Körper. Ist ja diagonalisierbar? Geben sie ggf. eine Transformationsmatrix S an, so dass $\begin{eqnarray*} S^{-1}AS \end{eqnarray*}$ eine Diagonalmatrix ist, und $\begin{eqnarray*} S^{-1}AS \end{eqnarray*}$

Das ergibt ja eine Matrix mit 0en auf der Hauptdiagonalen und der Rest sind 1en.
Wie kann cih die Aufgabe lösen? Also habe überlegt evtl. über eine vollständige Induktion. Ist das so möglich?

11.04.2010, 13:12

Reksilat

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RE: Unendlicher Körper
Die Aufgabenstellung ist für mich völlig unverständlich! unglücklich

11.04.2010, 13:29

tata

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RE: Unendlicher Körper
Hallo

Ich habe die gleiche Aufgabe: Das soll heißen: Wenn K ein unendlicher Körper ist, ob A dann diagonalisierbar ist.

Tipp: Probiere es doch mal für n=2 und n=3 aus, vielleicht fällt dir dann etwas auf. Berechne dabei ruhig die Basisvektoren für die Eigenräume. Falls dir nichts auffällt, sollte dir spätestens bei n=4 etwas auffallen ;-)

11.04.2010, 13:33

Reksilat

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RE: Unendlicher Körper

Zitat:

Original von Sete
Sei $\begin{eqnarray*} A =a_{i,j} \in K^{nxn} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \geq, a_{i,j} = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i = 1,...,n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{i,j} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ .

@tata:
Dass diese Zeile hier unverständlich ist, ist Dir nicht aufgefallen?

11.04.2010, 14:13

tata

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RE: Unendlicher Körper
@Reksilat es soll n>=2 heißen ;-)

11.04.2010, 14:17

Sete

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RE: Unendlicher Körper
oh da fehlt auch was... -.- sorry bzw ist es müll habs gerade selber erst gesehen! unglücklich

Sei $\begin{eqnarray*} A = a_{i,j} \in K^{nxn} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \geq 2, a_{i,i} = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i = 1,....,n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{i,j} = 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$

11.04.2010, 15:38

eggi

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Ich erkenne nur dass ein Eigenwert immer -1 ist und der zweite jeweils n-1.
Was mir aber für die Diagonalisierbarkeit nicht hilft. An den Eigenvekoren kann man auch kein Schema erkennen und am char. Polynom auch nicht.

11.04.2010, 15:51

Reksilat

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RE: Unendlicher Körper
Und in welcher Vielfachheit treten die Eigenvektoren jeweils auf? Schreib doch einfach mal auf, welche Eigenvektoren Du für n=2,3,4 so raushast. Vielleicht kann man Dir dann den entscheidenden Wink geben.

Wenn man die Eigenwerte schon kennt, kann man allerdings auch eine Vermutung fürs Minimalpolynom aufstellen und diese sogar recht leicht nachprüfen. Die Diagonalisierbarkeit hat man damit dann recht schnell. Für die Transformationsmatrix wirst Du allerdings um die Bestimmung geeigneter Eigenvektoren nicht herumkommen.

11.04.2010, 16:53

newbie28

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RE: Unendlicher Körper
Hallo

Ich habe die gleiche Matrix und einenen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ Körper, nur soll ich für diese Beweisen, dass sie nur dann diagonalisierbar ist, wenn p nich n teilt. Leider finde ich überhaupt keinen richtigen Ansatz.

Kann mir da jemand helfen?

11.04.2010, 17:04

Reksilat

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RE: Unendlicher Körper
@newbie:
Für Dich gilt ebenfalls: Schau Dir Beispiele an. n=2, n=3,...

Hier einfach so reinzuplatzen und "Ich versteh das nicht" zu jammern führt nur zur Unübersichtlichkeit und ist außerdem dreist, da hier schon einige Hinweise gegeben wurden. böse

12.04.2010, 09:31

Sete

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Also habe für die EV immer (1,...,1) raus für den EW n-1.
Habe meine Induktion mithilfe der Übung jetzt abgeschlossen.

Wenn ich jetzt zeigen will, das die Matrix A diagonalisierbar ist, muss ich sie ja mit allen EV multiplizieren, oder? Also
(A-\lambda E)(EV) = 0

Aber wie kann ich das damit beweisen? Ein kleiner Tipp in die Richtung wird wahrscheinlich schon reichen Augenzwinkern

12.04.2010, 11:06

Reksilat

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RE: Unendlicher Körper

Zitat:

Original von Reksilat
Und in welcher Vielfachheit treten die Eigenvektoren jeweils auf? Schreib doch einfach mal auf, welche Eigenvektoren Du für n=2,3,4 so raushast. Vielleicht kann man Dir dann den entscheidenden Wink geben.

Wenn man die Eigenwerte schon kennt, kann man allerdings auch eine Vermutung fürs Minimalpolynom aufstellen und diese sogar recht leicht nachprüfen. Die Diagonalisierbarkeit hat man damit dann recht schnell. Für die Transformationsmatrix wirst Du allerdings um die Bestimmung geeigneter Eigenvektoren nicht herumkommen.

Auch wenn sich hier andere in Deinen Thread einmischen, so solltest Du doch wenigstens alles lesen, was ich hier schreibe. Ich tippe mir ja sonst noch den Mund fusselig.

Wenn Du Diagonalisierbarkeit zeigen willst, solltest Du auch wissen was Diagonalisierbarkeit bedeutet und Dir ein geeignetes Kriterium für Diagonalisierbarkeit suchen. Suche zum Beispiel eine Vektorraumbasis aus Eigenvektoren.

14.04.2010, 10:17

Sete

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RE: Unendlicher Körper
Danke Reksilat Augenzwinkern

habe jetzt alles

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Unendlicher Körper

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