hilfe bei der grenzwertberechnung von folgen

25.10.2006, 14:36

Fridolin

hilfe bei der grenzwertberechnung von folgen

kann mir bitte jemand bei der berechnung des grenzwertes von folgenden Folgen helfen???

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{3^n} \end{eqnarray*}$

[latex]\frac{n^2}{4^n} latex]

ich hab leider keine ahnung wie ich die beispiele angehen soll ... danke ...

25.10.2006, 14:37

Fridolin

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uups ...
$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{4^n} \end{eqnarray*}$

25.10.2006, 14:42

brain man

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Wogegen strebt n denn?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to ?} \end{eqnarray*}$

25.10.2006, 14:50

fridolin

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gegen unendlich ...

25.10.2006, 14:51

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@brainman: Naja, ich geh mal davon aus nach unendlich. Alles andere wäre doch quasi sinnlos...

@Fridolin:
Wenn dem so ist: Betrachte doch einmal Zähler und Nenner getrennt und überlege dir, wohin beide konvergieren (und dann: Wer ist schneller?)

Gruß
MI

EDIT: Und da kam die Antwort...

25.10.2006, 14:59

fridolin

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mir ist schon klar ... dass der nenner schneller als der zähler wachsen wird ... und beide folgen gegen 0 konvergieren werden ...

aber wie man dass formal richtig löst ...

danke ...

25.10.2006, 15:10

klarsoweit

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RE: hilfe bei der grenzwertberechnung von folgen
Eine Idee wäre:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{3^n} < \frac{n}{e^n} < \frac{n}{1+n+n^2/2} \end{eqnarray*}$

25.10.2006, 15:23

fridolin

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danke erstmals ...

mit dem

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{1 + n + \frac{n^2}{2}} \end{eqnarray*}$

könnt ich schon was anfangen ... das geht gegen 0 ...

aber wie kommt man auf ...

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{e^n} < \frac{n}{1 + n + \frac{n^2}{2}} \end{eqnarray*}$

25.10.2006, 15:39

irre.flexiv

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Einfacher wirds mit $\begin{eqnarray*} n < 2^n \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{n}{3^n} < \frac{2^n}{3^n} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt lässt sich ganz einfach zeitgen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{3^n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

Einfach gehts auch wenn man die rekursive Darstellung von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ betrachtet.

Edit: Um deine Frage zu beantworten: Das ist aus der Potenzreihendarstellung von e^n abgeleitet. Wenn du davon noch nix gehört hast, müsstest du es noch per Induktion beweisen um es benutzen zu können.

25.10.2006, 16:13

Fridolin

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danke erstmals ...

ich habe jetzt folgendes stehen ...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3^n} \leq \frac{n}{3^n} < \frac{2^n}{3^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3^n} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{3})^n = 0 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{3^n} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3})^n = 0 \end{eqnarray*}$

daraus erseh ich jetzt ... dass auch $\begin{eqnarray*} \frac{n}{3^n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergieren muss ...

ist das beispiel somit jetzt richtig gelöst???

danke ...

25.10.2006, 16:28

Lazarus

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das war der plan .. ja

25.10.2006, 19:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Fridolin
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3^n} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{3})^n = 0 \end{eqnarray*}$ und

Wobei man sich das vorstehende wegen $\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{n}{3^n} \end{eqnarray*}$ auch schenken kann. Augenzwinkern

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