ableitungen und die probleme

10.04.2010, 22:28

kookie

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ableitungen und die probleme

hallo leute!

Ich bin grad mitten im lernen und hab relativ viele rechenprobleme gefunden:

ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Rechnung Nr. 1
$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{x} + (2+\sqrt{x} ) \end{eqnarray*}$

mein ansatz:
$\begin{eqnarray*} y = x^{\frac{1}{2} } + 2 + x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2} } + 0 + \frac{1}{2}x^{\frac{-1}{2} } = 2 x^{-1} = \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$
stimmt, aber leider nicht! unglücklich

unglücklich

nächste Rechnung
Rechnung Nr. 2
$\begin{eqnarray*} y = (x^{-2} + x)*(x-x^{2}) \end{eqnarray*}$

mein ansatz:
$\begin{eqnarray*} y = x^{-1} - x^{-4} + x^{2} - x^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y' = -1x^{-2} + 4x^{-5} + 2x - 3x^{2} \end{eqnarray*}$
rechnung stimmt aber auch nicht!

nächste Rechnung
Rechnung Nr. 3
$\begin{eqnarray*} y = (x-1)^{2} * \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

mein ansatz:
$\begin{eqnarray*} y = (x^{2}-2x+1)*\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y' = 2x-2+(\frac{1}{2}*x^{\frac{-1}{2} }) \end{eqnarray*}$
rechnung stimmt auch nicht!

Rechnung Nr. 4
$\begin{eqnarray*} y=(\frac{1}{2})^{x}*sin(x) \end{eqnarray*}$

mein Ansatz ist:
$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{2} * ln(\frac{1}{2}) * sin(x) + (\frac{1}{2})^{x} * cos(x) \end{eqnarray*}$
ab hier weiß ich nicht mehr weiter!

könnt ihr mir wenigstens bei einer helfen?
ich weiß, dass das viel verlangt ist ... aber ich finde diese rechnungen einfach so schwer! unglücklich

unglücklich

liebe grüße
manu

10.04.2010, 22:37

Q-fLaDeN

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Zur 1.)

Warum fasst du denn $\begin{eqnarray*} \sqrt x + \sqrt x \end{eqnarray*}$ nicht erstmal zusammen?

Desweitern ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x^{-\frac 1 2} + \frac{1}{2} x^{-\frac 1 2} = x^{-\frac 1 2} \neq x^{-1} \end{eqnarray*}$

Nach welcher Regel hast du denn hier zusammengefasst? verwirrt

verwirrt

Zur 2.)
Du hast falsch ausmultipliziert, zumindest der 2. Summand ist falsch.

Zur 3.)
Da steht ein Produkt, das heißt du musst die Produktregel anwenden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn ihr die noch nicht hattet oder du die nicht anwenden möchtest kannst du auch ausmultiplizieren, dann aber bitte Komplett, bis nur noch Summen da stehen.

Zur 4.)
Der 2. Summand ist richtig, der 1. allerdings nicht. Schreibe die Funktion zunächst um in

$\begin{eqnarray*} y=e^{-\ln (2) \cdot x} \cdot \sin(x) \end{eqnarray*}$

(Warum gilt das?)

Danach leite mit der Produktregel ab.

11.04.2010, 17:38

kookie

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zu nr. 1).
y = $\begin{eqnarray*} 2+2\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
y = $\begin{eqnarray*} 2+2*x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y' = 0+ \frac{1}{2}*x^{\frac{-1}{2} } = 0 + \frac{1}{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$
aber laut lösung sollte $\begin{eqnarray*} y' = 1+\frac{1}{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$ rauskommen?!
aber eine ableitungsformel lautet doch konstante = 0, oder?

zu Nr. 2).
$\begin{eqnarray*} y = (x^{-2}+x)*(x-x^{2}) = x^{-1} + 0 + x^{2} - x^{3} \end{eqnarray*}$ oder?
$\begin{eqnarray*} y' = -x^{-2} + 2x - 3x^{2} \end{eqnarray*}$ stimmt das? verwirrt

verwirrt

zu Nr. 3).
$\begin{eqnarray*} y = (x^{2} - 2x + 1 ) * \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y' = (2x - 2) * \sqrt{x} + (x^{2} - 2x + 1) * \frac{1}{2\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$
stimmt das so? ... wenn ja, wie gehts dann weiter?

zu Nr. 4).
wie kommst du da auf $\begin{eqnarray*} e^{-ln(2) *x} \end{eqnarray*}$

in der schule haben wir folgende "ableitungsformel" gelernt:
$\begin{eqnarray*} y = a^{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y' = a^{x} * ln(a) \end{eqnarray*}$
wieso kann ich die bei nr. 4 nicht anwenden??? unglücklich

unglücklich

wie kommst du da auf e?

11.04.2010, 18:15

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von manu93
$\begin{eqnarray*} y' = 0+ \frac{1}{2}*x^{\frac{-1}{2} } = 0 + \frac{1}{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$
aber laut lösung sollte $\begin{eqnarray*} y' = 1+\frac{1}{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$ rauskommen?!
aber eine ableitungsformel lautet doch konstante = 0, oder?

Oben hast du ein mal 2 vergessen, das war aber vermutlich nur ein Tippfehler, da das Ergebnis richtig ist. Die "Lösung" ist definitiv falsch, oder du hast die Aufgabe falsch abgeschrieben.

Zitat:

Original von manu93
zu Nr. 2).
$\begin{eqnarray*} y = (x^{-2}+x)*(x-x^{2}) = x^{-1} + 0 + x^{2} - x^{3} \end{eqnarray*}$ oder?
$\begin{eqnarray*} y' = -x^{-2} + 2x - 3x^{2} \end{eqnarray*}$ stimmt das? verwirrt

verwirrt

Nein. Potenzegesetze beachten: $\begin{eqnarray*} x^2 \cdot x^{-2} = x^{2+(-2)} = x^0 = 1 \end{eqnarray*}$
Die Ableitung stimmt aber trotzdem, denn die 1 fällt ja soweiso flach.

Zitat:

Original von manu93
zu Nr. 3).
$\begin{eqnarray*} y = (x^{2} - 2x + 1 ) * \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y' = (2x - 2) * \sqrt{x} + (x^{2} - 2x + 1) * \frac{1}{2\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$
stimmt das so? ... wenn ja, wie gehts dann weiter?

Stimmt

Freude

Du könntest noch umschreiben in

$\begin{eqnarray*} y' = 2(x - 1)\sqrt{x} + (x-1)^2 \frac{\sqrt x}{2x } \end{eqnarray*}$

und dann $\begin{eqnarray*} \sqrt x \cdot (x-1) \end{eqnarray*}$ ausklammern.

Zitat:

Original von manu93
zu Nr. 4).
wie kommst du da auf $\begin{eqnarray*} e^{-ln(2) *x} \end{eqnarray*}$

in der schule haben wir folgende "ableitungsformel" gelernt:
$\begin{eqnarray*} y = a^{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y' = a^{x} * ln(a) \end{eqnarray*}$

Und woher kommt diese "Formel"? Genau, von der Umformung, die ich oben gemacht habe smile

smile

Es ist ja

$\begin{eqnarray*} a^x = e^{\ln (a^x)} \end{eqnarray*}$

Das kannst du auf dein Beispiel anwenden. Du musst das aber natürlich nicht, wenn du weißt, was die Ableitung von $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} y=(\frac{1}{2})^{x} \cdot sin(x) \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} y' = (\frac 1 2 )^x \cdot \cos (x) + ((\frac 1 2 )^x)' \cdot \sin (x) \end{eqnarray*}$

Das kannst du ja nachvollziehen, oder?

Nun setze mal die Ableitung von $\begin{eqnarray*} (\frac 1 2 )^x \end{eqnarray*}$ ein.

11.04.2010, 18:44

kookie

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okay, dann wäre das ergebnis bei nr. 1:
$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{2\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$
ich hab nix falsches abgeschrieben.

nr. 2
okay ... ich glaub ich werd mir die prozentregeln noch mal zu gemüte führen! smile

smile

danke schön!

nr. 3

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y' = 2(x - 1)\sqrt{x} + (x-1)^2 \frac{\sqrt x}{2x } \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} \sqrt x \cdot (x-1) \end{eqnarray*}$ ausklammern.

wie kommst du auf \frac{\sqrt x}{2x }?

nr. 4:

$\begin{eqnarray*} y' = (\frac 1 2 )^x \cdot \cos (x) + (\frac{1}{2})^{x} \cdot ln(\frac{1}{2} ) \sin (x) \end{eqnarray*}$ oder?

aber die lösung (laut lösungsbüchlein) ist: $\begin{eqnarray*} y' = 2^{-x} (\cos(x) - ln(2) \sin(x) ) \end{eqnarray*}$
ich schätze, ich hab mich wieder irgendwo verrechnet, oder?

11.04.2010, 18:54

Q-fLaDeN

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Zur 1.)

Nein, nein, die Ableitung y' = \frac{1}{\sqrt x} war schon richtig.

Du hattest aber geschrieben

$\begin{eqnarray*} y' = 0 + \frac 1 2 \cdot x^{\frac{-1}{2}} \end{eqnarray*}$

aber eigentlich muss es

$\begin{eqnarray*} y' = 0 + 2 \cdot \frac 1 2 \cdot x^{\frac{-1}{2}} \end{eqnarray*}$

lauten, die 2 fällt ja nicht einfach weg, da sie ein konstanter Faktor ist.

Zur 3.)

Ich hab den hinteren Bruch mit $\begin{eqnarray*} \sqrt x \end{eqnarray*}$ erweitert.

Zur 4.)

Beide Lösungen sind identisch. Dazu musst du ein bisschen die Potenz- und Logarithmusregeln bemühen und anschließend $\begin{eqnarray*} 2^{-x} \end{eqnarray*}$ ausklammern.

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11.04.2010, 19:16

kookie

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super danke, danke, danke und noch mal danke!
die hab ich jetzt alle kapiert! smile

smile

1).
ich hätte da auch schon wieder rechnungen für dich:
$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{2x+3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = 2x^{\frac{1}{2} }+3^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$
irgendwie komm ich aber bei dieser rechnung auf kein ergebnis! verwirrt

verwirrt

2).
$\begin{eqnarray*} y = \frac{\sqrt{x} }{x+1} \end{eqnarray*}$
bei der rechnung geht gar nix mehr!
das werden bei mir nur eeeeeeeeeewig lange und viel zu komplizierte brüche! unglücklich

unglücklich

11.04.2010, 19:33

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von manu93
1).
ich hätte da auch schon wieder rechnungen für dich:
$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{2x+3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = 2x^{\frac{1}{2} }+3^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Die Rechnungen sind wohl eher für dich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Beachte:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a+b} \neq \sqrt a+ \sqrt b \end{eqnarray*}$

!

Du kannst ganz normal ableiten (schreibe als Potenz um), und die Kettenregel nicht vergessen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von manu93
$\begin{eqnarray*} y = \frac{\sqrt{x} }{x+1} \end{eqnarray*}$
bei der rechnung geht gar nix mehr!

Einfach die Quotientenregel anwenden, so schwer ist das nicht smile

smile

11.04.2010, 21:06

kookie

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okay rechnung 1). hab ich

bei rechnung 2). bekomme ich folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} y' = \frac{\frac{x+1}{2\sqrt{x} }-\sqrt{x} }{(x+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

in der Lösung kommt: $\begin{eqnarray*} y' = \frac{1-x}{2\sqrt{x}\cdot (1+x)^{2}} \end{eqnarray*}$ raus.

ist das das gleich und bloß umgewandelt?

11.04.2010, 21:13

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von manu93
ist das das gleich und bloß umgewandelt?

Ja. Bringe im Zähler mal alles auf den Hauptnenner.

11.04.2010, 21:21

kookie

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x} } }{(1+x)^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1-x}{2\sqrt{x} } }{(1+x)^{2}} \end{eqnarray*}$
und weiter?

11.04.2010, 21:22

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1-x}{2\sqrt{x} } }{(1+x)^{2}} = \frac{1-x}{2\sqrt x} \cdot \frac{1}{(1+x)^2} \end{eqnarray*}$

11.04.2010, 21:27

kookie

Auf diesen Beitrag antworten »

cool!
danke!

ich hätte da noch ne rechnung:
$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{\frac{-2x+5}{3} } \end{eqnarray*}$

mein ansatz (mit der kettenregel) war so:
$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{2} \cdot (\frac{-2x+5}{3})^{\frac{1}{2}} + \frac{-2x}{3} = \frac{-4x}{6} \cdot (\frac{-2x+5}{3})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
stimmt das bis jetzt?

ich glaub ich geh dir heute ziemlich auf den geist oder? Big Laugh

Big Laugh

11.04.2010, 21:43

kookie

Auf diesen Beitrag antworten »

ich wollte auch noch wissen, ob das stimmt:
$\begin{eqnarray*} y = (\frac{1}{2}x-3)^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'= \frac{3}{2}(\frac{1}{2}x-3)^{2} \end{eqnarray*}$
laut lösung stimmt es nicht! unglücklich

unglücklich

11.04.2010, 21:59

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine 2. Aufgabe ist richtig, aber die mit der Wurzel ist falsch.

Schau dir die Kettenregel nochmal genau an, und auch die innere Ableitung Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.04.2010, 20:11

kookie

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{\frac{(-2x+5)}{3} } = \frac{(-2x+5}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{2}*(\frac{-2x+5)}{3})^{(\frac{-1}{2})}*\frac{-2x}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y' = \frac{-2x}{6*\sqrt{ (\frac{(2x+5)}{3})} } \end{eqnarray*}$

stimmt das jetzt?

12.04.2010, 20:23

Q-fLaDeN

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Nein, deine Ableitung der inneren Funktion ist falsch.

Was ist denn

$\begin{eqnarray*} -\frac 2 3 x + \frac 5 3 \end{eqnarray*}$

abgeleitet?

12.04.2010, 20:26

kookie

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$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{3}+0 \end{eqnarray*}$

12.04.2010, 20:41

Q-fLaDeN

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Richtig, und eben nicht

$\begin{eqnarray*} -\frac 2 3 x \end{eqnarray*}$

12.04.2010, 20:51

kookie

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$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{2} (\frac{-2x+5}{3})^{-\frac{1}{2}} * \frac{-2}{3} = \frac{-1}{3}(\frac{-2x+5}{3})^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

und wie gehts dann weiter?

12.04.2010, 21:09

Q-fLaDeN

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Jetzt ists richtig. Als Wurzel kannst du das z. B. noch umschreiben und die 3 in die Wurzel reinziehen.

12.04.2010, 21:25

kookie

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okay, super danke!

mann, wieso kannst du das alles?! ist das normal? Big Laugh

Big Laugh

du hast echt ne wahnsinnsgeduld mit so volltrotteln wie mich! smile

smile

weil ich gerade mitten im rechnen bin nerv ich dich noch weiter ...

1).
$\begin{eqnarray*} y = e^{ln(x)} \end{eqnarray*}$
nach meiner rechnung gäbe das
$\begin{eqnarray*} y'= e^{ln(x)}*ln(e)*e^{ln(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y' = 2*e^{ln(x)} \end{eqnarray*}$

aber im lösungsbuch steht da kommt y'=1 raus. warum? das ist ja total unlogisch!

2).
$\begin{eqnarray*} y= lg(\frac{10}{x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'= \frac{1}{10*ln(x)}-\frac{1}{x*ln(10)} \end{eqnarray*}$
was habe ich hier vergessen ... hätte ich ln(x) nochmal dazunehmen müssen?
mein ergebnis sieht irgendwie ... komisch aus!?

12.04.2010, 21:44

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von manu93
$\begin{eqnarray*} y = e^{ln(x)} \end{eqnarray*}$
nach meiner rechnung gäbe das
$\begin{eqnarray*} y'= e^{ln(x)}*ln(e)*e^{ln(x)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y' = 2*e^{ln(x)} \end{eqnarray*}$

Nach welcher Regel leitest du ab? Ich hab nämlich das Gefühl, nach gar keiner...

Bedenke: e-Funktion und der natürliche Logarithmus sind Umkehrfunktionen zueinander.

Zitat:

Original von manu93
aber im lösungsbuch steht da kommt y'=1 raus. warum? das ist ja total unlogisch!

Nein ist es nicht, deine Rechnung ist total unlogisch Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von manu93
$\begin{eqnarray*} y= lg(\frac{10}{x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'= \frac{1}{10*ln(x)}-\frac{1}{x*ln(10)} \end{eqnarray*}$
was habe ich hier vergessen ... hätte ich ln(x) nochmal dazunehmen müssen?

Du hast anscheinend zuerst

$\begin{eqnarray*} \lg \left( \frac{10}{x} \right) = \frac{\ln \left( \frac{10}{x} \right)}{\ln (10)} \end{eqnarray*}$

benutzt? Oder was genau hast du gemacht, da komm ich gerade nicht dahinter...

12.04.2010, 21:50

kookie

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bei 1). bin ich nach dem gegangen:
$\begin{eqnarray*} y = a^{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y' = a^{x} * ln(a) \end{eqnarray*}$ und das hab ich einfach in die kettenregel übertragen (glaub ich zumindest!)

bei 2). bin ich zuerst nach logarithmusregeln gegangen:
$\begin{eqnarray*} y= lg(\frac{10}{x}) = = lg(10) - lg (x) \end{eqnarray*}$
dann habe ich beide irgendwie abgeleitet ...

12.04.2010, 22:14

Q-fLaDeN

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Zur 1.)

Die Form

$\begin{eqnarray*} e^{\ln (x)} \end{eqnarray*}$

hat doch nichts mit der Form

$\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$

zu tun... einmal steht $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Exponent, einmal $\begin{eqnarray*} \ln (x) \end{eqnarray*}$ . Du musst hier viel mehr nur den Tipp beachten, den ich dir gegeben habe Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es ist doch z. B. (für "geeignete" Definitionsbereiche) $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} = x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sin (\arcsin (x)) = x \end{eqnarray*}$

Was ist denn dann $\begin{eqnarray*} e^{\ln (x)} \end{eqnarray*}$ wenn es auch Umkehrfunktionen zueinander sind?

Zur 2.)
"irgendwie abgeleitet" klingt nicht gut, und ich denke das weißt du selbst. Du hast auf jeden Fall schonmal richtig umgeschrieben. Was ist denn nun $\begin{eqnarray*} \lg (10) \end{eqnarray*}$ und was gibt das abgeleitet? \lg (x) solltest du vorher in eine geeignete Basis umwandeln, mit

$\begin{eqnarray*} \log_a (b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c (a)} \end{eqnarray*}$

12.04.2010, 22:18

kookie

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geschockt

ich rat jetzt mal ...
$\begin{eqnarray*} e^{ln(x)} = e^{x} \end{eqnarray*}$

lg(10) = 1 oder?

13.04.2010, 14:51

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von manu93
geschockt

geschockt

ich rat jetzt mal ...
$\begin{eqnarray*} e^{ln(x)} = e^{x} \end{eqnarray*}$

unglücklich

Ich wüsste nicht, wie ich nochmehr mit dem Zaunpfahl winken soll... deine Umformung kann doch nicht stimmen, denn daraus würde folgen, dass $\begin{eqnarray*} \ln (x) = x \end{eqnarray*}$ für alle x>0 geschockt

geschockt

Die Exponentialfunktion und die natürliche Logarithmusfunktion sind UMKEHRFUNKTIONEN zueinander, das heißt es ist

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x)) = x \end{eqnarray*}$

und hier ist eben auch

$\begin{eqnarray*} e^{\ln (x)} = x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von manu93
lg(10) = 1 oder?

Ja das stimmt, hätte man aber nicht unbedingt benötigt, da der Summand lg(10) soweiso konstant ist, und das fällt beim Ableiten weg.

PS: Raten ist kein gutes Prinzip in der Mathematik, frag lieber gezielt WAS du nicht verstehst, denn dann kannst du dieses Raten ganz einfach umgehen.

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