Würfeln: Ergebnis der Berechnung widerspricht dem Experiment

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DasZehnte Auf diesen Beitrag antworten »
Würfeln: Ergebnis der Berechnung widerspricht dem Experiment
Meine Frage:
Es geht um ein Würfelspiel mit folgenden Regeln:
- 2 Spieler mit abwechselnden Zügen
- ist ein Spieler am Zug, darf er so oft würfeln, wie er möchte. die erwürfelten Punkte werden dabei addiert
- würfelt er eine 6 ist sein Zug zu ende und die in diesem Durchgang erwürfelten Punkte gehen wieder auf null
- hört er frewillig mit seinem Durchgang auf, werden die Punkte auf sein Geamtpunktekonto gutgeschrieben
- wer zuerst 50 punkte auf seinem konto hat, gewinnt.

folgende Frage hab ich mir gestellt. Was ist die optimale Anzahl an Würfen pro Runde, bei der man IMMER aufhören soll (unabhängig von den bisher erwürfelten Punkten), so dass man mit möglichst wenigen Durchgängen gewinnt.

Meine Ideen:
Ich habe folgende Frage aufgestellt: Wie oft muss man würfeln um mit einer 50%igen Wahrscheinlich keit mindestens eine 6 zu würfeln?
Hintergrund: steigt die Wahrscheinlichkeit einer 6 über 50%, ist es sicherer aufzuhören

mit n=ln(0,5) / ln(5/6) habe ich 3,8 erhalten

mit einem Simulationsprogramm folgendes Ergebis für die Anzahl der Durchgänge, bis man gewinnt:
1 max-Wurf: 20.932 Durchgänge
2 max-Würfe: 12.42 Durchgänge
3 max-Würfe: 10.91 Durchgänge
4 max-Würfe: 9.672 Durchgänge
5 max-Würfe: 8.715 Durchgänge
6 max-Würfe: 9.745 Durchgänge
7 max-Würfe: 10.717 Durchgänge
8 max-Würfe: 11.58 Durchgänge
9 max-Würfe: 11.108 Durchgänge
10 max-Würfe: 12.938 Durchgänge
(bei 10000-maligen Ausführen des Experiments)

offensichtlich ist hier die optimale Anzahl 5

Das Programm ist fehlerfrei, da bin ich mir sicher..
Aber nun weiß ich nicht, woher der Unterschied zwischen Berechnung und Simulation kommt.
Ich habe erst vermutet, dass der Fehler bei den willkürlich gewählten 50% lag. Als ich das Ergebnis des Experiments auf die Wahrscheinlich zurückgeführt habe, habe dort knapp 60% erhalten (was ich aber auf rundungen zurückführen würde)
mathtype Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfeln: Ergebnis der Berechnung widerspricht dem Experiment
also die frage is doch echt mal ne frechheit, ne auf sowas triviales geb ich keine antwort....boahhh ne....raus hier Wink
 
 
DasZehnte Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfeln: Ergebnis der Berechnung widerspricht dem Experiment
Wenn es trivial ist, habe ich wohl etwas übersehen oder denke zu kompliziert. Über einen Wink in die richtige Richtung würde ich mich freuen.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfeln: Ergebnis der Berechnung widerspricht dem Experiment
mathtype sagt das ironisch.
Deine Frage ist klar gestellt, aber nichts mehr für heute abend für mich. Ich möchte nur darauf hinweisen, dass deine Frage noch nicht die Frage nach der optimalen Strategie trifft. Letztere wird sich bei der Anzahl Würfe jeweils an den beiderseitigen Punkteständen und vielleicht sogar an der zutage getretenen bzw. erratenen Strategie des Gegenüber laufend dynamisch anpassen müssen: Alles andere als trivial.
(Deine Bemerkung betreffend 50% habe ich nicht verstanden.)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DasZehnte
Hintergrund: steigt die Wahrscheinlichkeit einer 6 über 50%, ist es sicherer aufzuhören

Tja, dieses Kriterium ist in seiner Willkür ganz einfach ungeeígnet.

Tatsächlich ist es auf lange Sicht (d.h. wenn man noch weit von der Zielpunktzahl entfernt ist) die beste Wahl, diejenige Anzahl zu würfeln, die hinsichtlich Erwartungswert die größte Punktzahl liefert. Und der ist folgendermaßen berechenbar:

Die Augenzahlen seien mit bezeichnet, deren Maximum mit sowie die Zahl der erwürfelten Punkte. Dann ist



Mit den bedingten Erwartungswerten sowie folgt dann



Nun ist bzgl. zu maximieren, es ergibt sich ein gemeinsames Maximum

,

in Übereinstimmung mit deiner Simulation.

-----------------------------------------

Auf kurze Sicht - d.h. wenn die Zielpunktzahl (wie hier 50) nur noch wenige Schritte entfernt ist, bzw. wenn man einen großen Vorsprung vorm Gegner hat - muss die Strategie angepasst werden, wie wisili es auch schon erwähnt hat. Liegt man vorn, wird man dann vermutlich mehr auf "Sicherheit" fahren, d.h. weniger als 5 Würfe wählen. Das bleibt aber im Detail auszurechnen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Würfeln: Ergebnis der Berechnung widerspricht dem Experiment
Deine Überlegungen erscheinen mir in mehrfacher Hinsicht fehlerhaft. Auf einen Fehler hat schon Arthur hingewiesen.

Es ist aber generell die Strategie, bei jedem Zug n mal zu würfeln mit festem n, solange man dabei keine 6 würfelt, nicht optimal. Besser ist es, die Entscheidung, ob man bei einem Zug noch mal würfelt, davon abhängig zu machen, welche Punktsumme man bei diesem Zug schon erreicht hat. Man sollte noch einmal würfeln, wenn sich dadurch der Erwartungswert der Punktsumme dieses Zuges erhöht.

Hat man bei einem Zug die Punktsumme x erreicht, ist der Zuwachs des Erwartungswert der Punktsumme dieses Zuges bei einem weiteren Wurf



Daraus ergibt sich, solange man bei einem Zug weniger als 15 Punkte erwürfelt hat, sollte man noch einmal würfeln.

Und selbstverständlich sollte man immer aufhören zu würfeln, wenn man schon 50 Punkte erreicht hat.


Die Komplikationen, die sich aus Wisilis Anmerkungen ergeben, sind dabei nicht berücksichtigt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Daraus ergibt sich, solange man bei einem Zug weniger als 15 Punkte erwürfelt hat, sollte man noch einmal würfeln.

Das ist natürlich die viel bessere Strategie, als die Anzahl der Würfe vorher festzulegen. Wäre mal interessant, für diese Strategie zu berechnen.
DasZehnte Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Arthur Dent und Huggy!

Den aktuellen Punktestand habe ich vollkommen bei meiner Überlegung vernachlässigt, weil ich das Problem so einfach wie möglich halten wollte, aber du hast schon Recht Arthur, dass man gegen Ende die maximale Wurfzahl verringern könnte.

Huggys Idee mit dem Erwartungswert finde ich gut.
So könnte man jedenfalls die optimale Punkteausbeute pro Durchgang ermitteln:
1. Wurf: 3,5
2. Wurf: 7
3. Wurf 10,5
4. Wurf 14
5. Wurf 17,5
usw.

Wenn man beim 4. oder 5. Wurf über den Erwartungswert des Wurfes liegt, ist es sinnvoll, aufzuhören.

Könnte man die beiden Ergebnisse so zusammenbringend verallgemeinern?

PS: Die 50% waren wirklich willkürlich gwählt.. das Gefühl hat bei Statistik nichts zu suchen Augenzwinkern
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Zahlen kann ich nicht so recht nachvollziehen.

Bei einem einzelnen Zug ergibt sich für den ersten Wurf ein Erwartungswert von:



Wie kommst du da auf 3,5?

Ansonsten beinhaltet mein Vorschlag eben nicht, wie oft man bei einem Zug schon gewürfelt hat, sondern nur, welche Punktsumme des Zuges man bei dem Zug schon erreicht hat.
DasZehnte Auf diesen Beitrag antworten »

ach, klar.
ich hab den üblichen Erwartungswert eines Würfels genommen. Die Sonderbehandlung der 6 dabei völlig vergessen. stimmt.

das kommen wir auf
1. : 2,5
2. : 5
3. : 7,5
4. : 10
5. : 12,5
usw.

danke für den Hinweis!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Du betreibst noch immer Dünnbrettbohrerei!

Wenn man bei einem Zug zweimal würfelt, ist der Erwartungswert der Punktsumme dieses Zuges:

wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Arthur Dent berechnete die mittlere erzielte Punktsumme pro Durchgang für jede Anzahl von Würfen; ich halte sie für korrekt.
Die Simulation von dasZehnte bestimmt die geschätzte mittlere Zahl der Durchgänge (bei anscheinend derselben Strategie).
Die auffällige (kleine) Abweichung der Resultate muss eine Erklärung haben; ich vermute Folgendes:
Der letzte Durchgang, bei dem also 50 Punkte erreicht werden, ist ein Sonderfall.
Würde man ihn nach dem Modell Arthur Dents zu Ende würfeln, also n Würfe tun, selbst wenn vorher schon 50 Punkte erreicht sind, dann setzt man sich der annulierenden Gefahr eines Sechsers aus. Die Simulation vermeidet vermutlich diesen «Fehler».
DasZehnte Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. jetzt hab ich meinen Denkfehler endgültig verstanden
Danke für die hinweise!
dasZehnte Auf diesen Beitrag antworten »

@wisili:

die Simulation ist dann wohl doch nicht perfekt.. die zieht nämlich jeden Druchgang mit der maximalen wurfzahl gnadenlos durch auch wenn man schon gewonnen hat. guter Hinweis! danke!
aber ich glaube, dass es am Egebnis nicht sehr viel ändern wird.. vermutlich werden die unterschiede zwischen 4, 5 und 6 Würfe nur kleiner
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Zitat:
Original von Huggy
Daraus ergibt sich, solange man bei einem Zug weniger als 15 Punkte erwürfelt hat, sollte man noch einmal würfeln.

[...] Wäre mal interessant, für diese Strategie zu berechnen.

Ist mir heute am Sonntag zu anstrengend, aber eine Simulation ( Versuche) ergibt

,

also wie erwartet etwas höher als die obigen 6.028 für die Strategien mit fester Wurfanzahl 5 oder 6.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Zitat:
Original von Arthur Dent
Zitat:
Original von Huggy
Daraus ergibt sich, solange man bei einem Zug weniger als 15 Punkte erwürfelt hat, sollte man noch einmal würfeln.

[...] Wäre mal interessant, für diese Strategie zu berechnen.

Ist mir heute am Sonntag zu anstrengend, aber eine Simulation ( Versuche) ergibt

,

also wie erwartet etwas höher als die obigen 6.028 für die Strategien mit fester Wurfanzahl 5 oder 6.

Das beruhigt mich!
bin nämlich bisher auf keine analytische Lösung gekommen.
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