quadratische Form abschätzen

11.04.2010, 06:56	maxxxyz	Auf diesen Beitrag antworten »
quadratische Form abschätzen Meine Frage: Hallo, ich wüsste gerne, ob folgende Überlegung zur Abschätzung quadratischer Formen korrekt ist: Meine Ideen: Die quadratische Form einer (reellen $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ -) Matrix M lässt sich durch $\begin{eqnarray} \lambda_{min}(A)\\|x\\|^2\leq x^T M x \leq \lambda_{max}(A)\\|x\\|^2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ abschätzen, wobei A der symmetrische Anteil von M ist und $\begin{eqnarray} \lambda_{min}(A), \lambda_{max}(A) \end{eqnarray}$ der kleinste bzw. größte Eigenwert von A.
11.04.2010, 12:05	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratische Form abschätzen Es wäre schön gewesen, wenn Du wenigstens mal ansatzweise gesagt hättest, woher die Abschätzung kommt, damit man einen Ansatz zum Überlegen hat. $\begin{eqnarray} M:=\begin{pmatrix}2&-2\\4&-2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A:=\frac{1}{2}(M+M^T)=\begin{pmatrix}2&1\\1&-2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \chi_A=\lambda^2-3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_{\min} (A)=-\sqrt{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_{\max}(A)=+\sqrt{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x:=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^TMx=2>\lambda_{\max}\\|x\\|^2 \end{eqnarray}$ Gruß, Reksilat.
11.04.2010, 19:54	maxxxyz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: quadratische Form abschätzen Danke erstmal für die schnelle Antwort. Dein Beispiel ist aber leider kein Gegenbeispiel, da das charakteristische Polynom von A doch $\begin{eqnarray} \lambda^2-5 \end{eqnarray}$ und die Eigenwerte $\begin{eqnarray} +-\sqrt(5) \end{eqnarray}$ sind, und damit würde es ja stimmen...
11.04.2010, 20:14	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Spontan würde ich eine Zerlegung von x in eine LK von Eigenvektoren versuchen
11.04.2010, 20:47	maxxxyz	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war auch genau mein Ansatz, habe mir überlegt: M=A+B, wobei B der schiefsymmetrische Anteil ist. Es gilt $\begin{eqnarray} x^T M x = x^T A x= \sum_{i=1}^n c_i v_i^T A \sum_{j=1}^n c_j v_j=\sum_{i,j} c_i c_j v_i^T \lambda_j v_j =\sum_{i=1}^n c_i^2 \lambda_i \\|v_i\\|^2\leq \lambda_{max}(A)\sum_{i,j}c_i v_i^T c_j v_j \end{eqnarray}$ und ... $\begin{eqnarray} \geq \lambda_{min}(A)\sum_{i,j} c_i v_i^T c_j v_j \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} v_iv_j = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i\neq j \end{eqnarray*}$ und sonst 1. Habe ich dabei einen Denkfehler gemacht, oder kann man so argumentieren?
12.04.2010, 10:59	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab nur mal kurz was getestet und dann gleich so ein blöder Rechenfehler. Sorry! Hab irgendwie übersehen, dass die Form von M und A auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ gleich ist. Zum Beweis: Sieht gut aus. Gruß, Reksilat.
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13.04.2010, 18:00	maxxxyz	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann danke ich Euch für die Antworten. @kiste: War das der Ansatz, den Du meintest, oder hattest Du eine andere Idee? LG

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