Taylor-Polynom mit f(x)-T < Mx^3

11.04.2010, 12:47

heimeldeimel

Taylor-Polynom mit f(x)-T < Mx^3

Meine Frage:
Hallo
ich sitze seid einiger Zeit an einer Aufgabe die ich nicht schaffe, villeicht kann mir ja jemand helfen.

Aufgabe:
Man berechne das Taylor-Polynom $\begin{eqnarray*} T_{2}[f,0] \end{eqnarray*}$ der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x):=e^{cos(x)} \end{eqnarray*}$ und bestimme eine Konstante $\begin{eqnarray*} M\in \mathbb R >0 \end{eqnarray*}$ derart, dass für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} | f(x)-T_{2}[f,0](x) | \leq M| x | ^3 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
das Taylor-Polynom habe ich gelöst und $\begin{eqnarray*} | f(x)-T_{2}[f,0](x) | \leq M| x | ^3 = e-\frac{e}{2} x^2 \end{eqnarray*}$ rausbekommen.
Nun gehts bei mir nicht weiter wenn ich die Ungleichung aufstelle, sieht die so aus:

$\begin{eqnarray*} | e^{cos(x)} - e-\frac{e}{2}x^2 | \leq M| x | ^3 \end{eqnarray*}$
wenn ich die nach M auflösen will, kommt da immer nur murks raus

11.04.2010, 12:57

Felix

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist aber nicht richtig :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} | f(x)-T_{2}[f,0](x) | \leq M| x | ^3 = e-\frac{e}{2} x^2 \end{eqnarray*}$

Muss das M minimal sein?

11.04.2010, 13:31

heimeldeimel

Auf diesen Beitrag antworten »

achso ne das ist quatsch. $\begin{eqnarray*} T_{2}[f,0](x)= e-\frac{e}{2} x^2 \end{eqnarray*}$
so stimmts

und das muss dann irgendwie so
$\begin{eqnarray*} | e^{cos(x)} - e-\frac{e}{2}x^2 | \leq M| x | ^3 \end{eqnarray*}$

in den Lösungen steht M= 5/6 e
keine Ahnung warum :-(

11.04.2010, 13:38

Felix

Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich wird nach dem kleinsten jener M gefragt, welche die gefragte Eigenschaft haben. Um dieses zu erhalten dividiere in deiner Ungleichung mal durch $\begin{eqnarray*} | x |^3 \end{eqnarray*}$ . Da diese Ungleichung für alle x gelten soll musst du nun das Supremum der Bildmenge der Funktion die du auf der linken Seite erhältst bestimmen.

11.04.2010, 13:51

heimeldeimel

Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank damit wirds schon klappen

Neue Frage »

Antworten »

Taylor-Polynom mit f(x)-T < Mx^3

Verwandte Themen