Sigma-Algebra der Lebesgue-Mengen

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xemle Auf diesen Beitrag antworten »
Sigma-Algebra der Lebesgue-Mengen
Meine Frage:
Hallo, ich soll folgendes zeigen:
Seien A,B Borel-Mengen, sowie A c T c B mit L(B\A)=0, wobei L das Lebesgue-Maß darstellen soll.
Nun soll gezeigt werden, dass es sich bei dem Mengensystem, welches jegliche T mit obiger Eigenschaft enthält, um eine Sigma-Algebra handelt.

Meine Ideen:
Ich nehme mal schwer an, dass ich die 3 Bedingungen an eine Sigma-Algebra überprüfen soll, anhand von Beispielen ist dies auch nicht sonderlich schwierig, aber ich komme momentan einfach nicht auf eine vernünftige Idee dies für einen allgemeingültigen Beweis umzusetzen, zumal sich in dieser Sigma-Algebra laut der Vorlesung ebenfalls Mengen befinden sollen, welche nicht in der Borel-Sigma-Algebra der reellen Zahlen enthalten sind, obwohl nach Vorraussetzung ja A c T c B gelten soll. Wäre an dieser Stelle auch für eine Beispielmenge dankbar, welche im gesuchten Mengensystem enthalten ist, nicht jedoch in der Borel-Sigma-Algebra von R.
Danke schonmal im Vorraus!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich nehme mal schwer an, dass ich die 3 Bedingungen an eine Sigma-Algebra überprüfen soll


Ganz genau. Ich nehme mal an die A und B sind beliebig aber fest. Ich würde das System erst mal ordentlich hinschrieben.



Insbesondere ist hier Omega wichtig. Wenn man obiges Mengensystem über betrachtet, so ist es keine Sigmaalgebra (warum ?). Ich vermute mal Du betrachtest das System über B ? Oder meinst Du das für T zwei entsprechende Borelmengen A und B existieren sollen? Also :



dann ist die Frage nach Omega obsolet.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze

Falls es wirklich so gemeint ist und zudem gilt, dann ist dieses gewiss keine Sigma-Algebra, was sofort aus folgt.

Es wird wohl so gemeint sein, dass nicht fest sind, d.h., es wird über alle Borelmengen A,B mit L(A/B)=0 vereinigt.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mir auch jetzt auch bewusst geworden dank deinem Hinweis mit ! Also :

sollte dir leicht fallen, A und B kannst Du direkt angeben.

:

Wenn aus einer Obermenge Omega, wie verhalten sich dann ?

Das wichtige dabei ist zu zeigen das für die Komplemente auch die Nullemengeneigenschaft gilt.

Was die abzählbare Vereinigung angeht. Hier wirds wichtig das die Borelmengen eine Sigmaalgebra bilden (dann kannst Du die unteren und oberen Mengen angeben). Wichtig ist auch wieder die Nullmengeneigenschaft nachzuweisen. Das dürfte dann auch das Schwierigste hierbei sein.
xemle75ml Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schon einmal für die schnellen Antworten. Werd anhand dessen eben selber erst noch einmal ein wenig drüber nachdenken und rumprobieren und schauen wie weit ich komme, bevor ich mich nochmal melde.
xemle75ml Auf diesen Beitrag antworten »

Also, habe mir nochmal ein paar Gedanken zu der Sache gemacht und würde gerne wissen, ob dass so alles korrekt ist.

(1.) , sowie die leere Menge müssen in T enthalten sein: Da es sich bei um eine Borel-Menge handelt sollte = gelten und weiterhin T, da auch \ eine Borel-Menge ist und
(\(\)) = () = 0 gilt. Dass die leere Menge auch in T liegt ist offensichtlich, wenn A= und B= gewählt wird.

(2.) Aus , denn nach Vorraussetzung gibt es ja 2 Borel-Mengen mit , wobei (\)=0. Nun gilt wobei nun ebenfalls (\)=0 gilt, da \ = \ und damit , da es sich aufgrund der Komplemente bei und ebenfalls um Borel-Mengen handelt.

(3.) soll nun noch überprüft werden, wobei die Indexmenge aus der n gewählt wird höchstens abzählbar sein soll. Aus folgt durch die Abzählbarkeit ja trivialerweise auch . Da die abzählbare Vereinigung von Borel-Mengen wieder Borel-Mengen sind muss ich im Grunde doch nun nur noch (\)=0 nachweisen, oder nicht?
Aufgrund des Assoziativgesetzes gilt jetzt \=((\(\(\.....) ((\(\(\.....) (\(\(\.....usw.
Betrachte ich nun immer die einzelnen Schnitte ((\).....(\).....) so gilt offensichtlich (\) und damit erst recht ()=0, da ja nach Vorraussetzung (\)=0 . Aufgrund der Abzählbarkeit der Indexmenge gilt dann aber auch

()=0 und damit der 3. Punkt.

Kann ich den Beweis so führen, fehlt da noch was, oder ists gar völlig daneben? Vielen Dank schonmal für Antwort und die Mühe sich das durchzuschauen.
 
 
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