Beweis Häufungspunkt

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11.04.2010, 19:14	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Häufungspunkt Hallo, bei mir stockt es gerade etwas bei der Beweisführung folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein metrischer Raum, $\begin{eqnarray} M \subset X \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ ist ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ es existiert eine Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} x_n = x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_n \in M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_n \neq x \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Also diese Beweisrichtung $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ habe ich bereits. Aber die andere fehlt mir noch und ich komme nicht ganz weiter. Das habe ich bisher: Sei $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Dann folgt daraus $\begin{eqnarray} (U_{\epsilon}(x) \cap M) / \{ x\} \neq \varnothing \end{eqnarray}$ Aber wie kann ich jetzt auf die Existenz einer solchen Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ schlussfolgern?
11.04.2010, 19:34	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Wähle dir $\begin{eqnarray} \varepsilon = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ . Dann kannst du für jedes $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} x_n \in (U_{\varepsilon}(x) \cap M) \backslash \{x\} \end{eqnarray}$ finden. Hilft dir das schon genug?
11.04.2010, 19:44	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... Ich glaube schon. Ich versuch es mal. Also wenn ich weiß ein $\begin{eqnarray} x_n \in (U_{\varepsilon}(x) \cap M) \backslash \{x\} \end{eqnarray}$ Dann folgt automatisch daraus. $\begin{eqnarray} x \in U_{\varepsilon}(x) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_{0}(\epsilon) \end{eqnarray}$ Da dies aber für alle positiven $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ stimmen soll, folgt daraus, dass der Abstand von $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ immer kleiner wird. Also: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} d(x_n,x)=0 \end{eqnarray}$ Daraus folgt $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} x_n=x \end{eqnarray}$
12.04.2010, 15:22	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm naja, etwas schöner könnte man es vllt. formulieren, aber prinzipiell hast du recht. Du musst zeigen: Für alle $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ existiert ein $\begin{eqnarray} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray} n \geq N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} d(x_n,x) < \varepsilon \end{eqnarray}$ . (Wobei $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ wie oben beschrieben aus der Umgebung gewählt wird. Hierbei müsste man eigentlich auch noch etwas genauer drauf eingehen, dass man nicht immer das gleiche Element auswählt - kannst du dir ja vllt. nochmal Gedanken machen) Also, sei $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ . Wie wählst du jetzt N?
12.04.2010, 18:12	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... Also wenn ich tatsächlich $\begin{eqnarray} \epsilon =\frac{1}{N} \end{eqnarray}$ wähle. Dann heißt dass: $\begin{eqnarray} d(x_n,x) \leq \epsilon =\frac{1}{N} \end{eqnarray}$ Aber diese Gleichung ergibt doch irgendwie nichts Vernünftiges, oder? Also man erkennt ja bereits: Je größer man $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ wählt, umso näher muss $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ an das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ heranrücken.
12.04.2010, 18:17	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Als erstes: Woher weißt du denn, dass mein $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ rational ist? (also als $\begin{eqnarray} \frac{1}{N} \end{eqnarray}$ darstellbar ist) Aber was gilt denn nach dem Archimedischen Axiom? Ansonsten: Was gilt denn nach Konstruktion für alle $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n \geq N \end{eqnarray}$ nach Konstruktion? (Mach es dir nicht zu schwer, im Grunde steht es alles schon mehr oder weniger da. Aber du musst es ja auch sinnvoll aufschreiben können.)
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12.04.2010, 18:21	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nach Konstruktion gilt für alle $\begin{eqnarray} n\geq N \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} x_n \in U_{\epsilon}(x) \end{eqnarray}$ Aber ich muss doch jetzt noch irgendwie zeigen, dass das für jedes $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ gilt, oder? Oder kann ich dies aus dem archimedischen Axion schlussfolgern?
12.04.2010, 18:26	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nochmal der Reihe nach: Du musst es tatsächlich für alle $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ zeigen. Also, wie wählst du für ein beliebiges $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ das N? (Siehe Bemerkung oben: du kannst nicht von der Rationalität von $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ ausgehen. Aber was existiert denn auf jeden Fall?) (Klären wir das erstmal. Dann kommen wir zu dem Rest.)
12.04.2010, 18:29	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es existiert auf jeden Fall ein $\begin{eqnarray} n_0(\epsilon) \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} d(x_n,x)\leq \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0(\epsilon) \end{eqnarray}$
12.04.2010, 18:30	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau (damit hast du ja dann die Konvergenz). Und wie sieht dein $\begin{eqnarray} n_0 (\varepsilon) \end{eqnarray}$ gerade aus?
12.04.2010, 18:37	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist jetzt die Stelle, wo es bei mir problematisch wird: Wie stelle ich jetzt, meine Ungleichung nach $\begin{eqnarray} n_0(\epsilon) \end{eqnarray}$ um?
12.04.2010, 18:43	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Nunja, dein Ansatz war schon richtig. Du hast ja geschrieben, dass ein $\begin{eqnarray} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray} \varepsilon = \frac{1}{n_0} \end{eqnarray}$ Das geht wie gesagt nicht (weil das Rationalität voraussetzen würde). Könntest du denn aber statt des "="-Zeichens dort oben eine andere Relation einsetzen? (Und eine Begründung finden, wieso ein entsprechendes $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ auf jeden Fall gefunden werden kann.) Natürlich so, dass es deiner Behauptung dienlich ist
12.04.2010, 18:45	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, ich kann sagen, dass für jedes postitive $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \epsilon \leq \frac{1}{N} \end{eqnarray}$ nach dem Prinzip des Archimedes
12.04.2010, 18:50	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm, wieso denn die Abschätzung in diese Richtung? Ich meine: Wenn du ein N wählst, folgt daraus doch, dass für alle $\begin{eqnarray} n \geq N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} d(x_n,x) \leq \frac{1}{N} \end{eqnarray}$ Du willst aber zeigen, dass $\begin{eqnarray} d(x_n,x) \leq \varepsilon \end{eqnarray}$ Welche Abschätzung bietet sich denn dann in der Ungleichung von deinem letzten Post hier vielmehr an?
12.04.2010, 18:53	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... versteh ich gerade nicht ganz... Meinst du $\begin{eqnarray} N \leq \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray}$
12.04.2010, 18:54	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Wie wär's denn mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{N} \leq \varepsilon \end{eqnarray}$ ?
12.04.2010, 19:00	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so... Ja, na klar, sonst wäre die Ungleichungskette falsch, stimmt. Also $\begin{eqnarray} d(x_n,x) \leq \frac{1}{N} \leq \epsilon \end{eqnarray}$ So und jetzt kann ich mir nach dem Prinzip des Archimedes stets eine natürliche Zahl suche, so dass diese Ungleichung erfüllt ist.
12.04.2010, 19:30	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Ist dir damit alles klar?
12.04.2010, 19:33	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, ich kann doch jetzt nochmals das archimedische Prinzip anwenden. Aber kann ich jetzt schon sagen: $\begin{eqnarray} d(x_n,x)\leq \frac{1}{N} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \geq N \end{eqnarray}$
12.04.2010, 19:36	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm ja. Du weißt doch, dass $\begin{eqnarray} d(x_n,x) \leq \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} \leq \varepsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \geq N \end{eqnarray}$ . So ist ja die Folge $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ gerade konstruiert, dass das gilt.
12.04.2010, 19:39	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, vielen Dank für die Geduld. Der Rest sollte klar sein. Denn aus dieser KOnstruktion folgt, dass $\begin{eqnarray} d(x_n,x) \end{eqnarray}$ gegen NUll konvergiert und damit die Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ gegen x strebt. Oder?
12.04.2010, 19:40	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
12.04.2010, 19:41	Bullet1000	Auf diesen Beitrag antworten »
Super. Vielen Dank. Eigentlich so im Nachhinein ganz einfach. Na ja...

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