Newton Verfahren für tan(x)-x=f(x)

11.04.2010, 19:19

heimeldeimel

Newton Verfahren für tan(x)-x=f(x)

Meine Frage:
Hi, ich sitze seid einigen Stunden an der Aufgabe fest und komme einfach nicht weiter.
Mit dem NEwton-Verfahren sollen die ersten 2 Positiven Nullstellen gefunden werden.
$\begin{eqnarray*} f(x)=tan(x)-x \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich habe

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(tan(x))^2 \end{eqnarray*}$

also sollte ich mit $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})-x_{n}}{f'(x_{n})} \end{eqnarray*}$
das bekommen:
$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_{n} - \frac{tan(x_{n})-x_{n}}{(tan(x_{n}))^2} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ nehm ich mal 5 weil da in der nähe eine Nullstelle sein müsste.

Nun komme ich erst auf $\begin{eqnarray*} x_{1} = 5,733339321<br /> \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{2}= 22,62787279 \end{eqnarray*}$

wenn ich nun den Startwert $\begin{eqnarray*} x_{0} = 4,5 \end{eqnarray*}$ nehme, läufts einwandfrei und ich bin nach 2 Schritten schon glücklich.
Meine Frage ist nun wie ich den Startwert klug wähle, ohne zu wissen wie der Funktionsverlauf ist. In diesem Fall habe ich mir die Funktion vom Taschenrechner anzeigen lassen. Ich würde das aber auch gerne ohne den programmierbaren Taschenrechner hinbekommen.

11.04.2010, 19:25

Airblader

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Deine Iterationsformel des Newtonverfahrens ist bereits falsch. Wieso steht da "-x_n" im Zähler?

Prinzipiell gilt dann: Man sucht eine Näherung, was spricht also dagegen, sich die Funktion anzuschauen und eine gute Startnäherung für die Nullstelle zu wählen?

Ansonsten ist das Verfahren ja recht freundlich. Also spätestens nach ein paar wenigen Iterationen hat man i.d.R. ja schon einen vernünftigen Wert.

air

11.04.2010, 19:31

heimeldeimel

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vielen Dank für die schnelle Antwort.

oh backe, ja das hab ich verwechselt mit der schon eingesetzten Funktion

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} \end{eqnarray*}$ meine ich.

also sollte ich bei dieser Art von Aufgaben nicht auf einen programmierbaren Taschenrechner verzichten? Es gibt ja auch Funktionen, bei denen man recht leicht (bzw. mit tolerantem $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ eine gute Lösung bekommt.

Woran liegt es denn in meinem Fall, dass ich den Startwert so genau an die tatsächliche Nullstelle legen muss, um weiter zu kommen?

11.04.2010, 19:38

Airblader

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Nun - weißt du geometrisch, was das Newtonverfahren bewirkt?
Wenn du dir deine Funktion anschaust, siehst du, dass sie leider sehr sehr unfreundlich ist, was die Ableitung angeht, da sie enorm groß wird (und zwar sehr oft und schnell).
Eine gute Startnäherung empfiehlt sich also. Augenzwinkern

air

11.04.2010, 19:46

heimeldeimel

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vielen vielen Dank das hat mir sehr geholfen. schönen Abend noch!

11.04.2010, 19:46

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Zitat:

Original von Airblader
was spricht also dagegen, sich die Funktion anzuschauen und eine gute Startnäherung für die Nullstelle zu wählen?

Das kann ich nur deutlich unterstreichen: Auch wenn es unbequem ist, bei einer Aufgabe wie dieser ist es eben bitter nötig, hier etwas Grips reinzustecken!

$\begin{eqnarray*} f(x) = \tan(x)-x \end{eqnarray*}$ hat jeweils genau einen Nullstelle in jedem der offenen Tangens-Definitionsintervalle

$\begin{eqnarray*} \left( (2k-1)\cdot \frac{\pi}{2} , (2k+1)\cdot \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Die Wahl des Startwertes sollte auch in diesem Intervall stattfinden, aber wo genau? Jedenfalls nicht in der "Mitte" $\begin{eqnarray*} k\pi \end{eqnarray*}$ , denn das ist wegen $\begin{eqnarray*} f'(k\pi) = 0 \end{eqnarray*}$ der Supergau des Newton-Verfahrens. Augenzwinkern

Für positive $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ wählt man günstigerweise den Startwert leicht oberhalb der zu erwartenden Nullstelle - Vorschlag:

$\begin{eqnarray*} x_0 = k\pi + \arctan\left( (2k+1)\cdot \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}$

und das bei dir einmal für k=1 und dann für k=2.

P.S. Während des Verfassens dieses Beitrags kam die Skizze von Airblader - ich denke aber, beide Beiträge ergänzen sich sehr gut. Augenzwinkern

11.04.2010, 19:51

Airblader

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Zitat:

Original von Arthur Dent
P.S. Während des Verfassens dieses Beitrags kam die Skizze von Airblader - ich denke aber, beide Beiträge ergänzen sich sehr gut. Augenzwinkern

Sehe ich auch so.
Speziell, wenn kein GTR oder PC in der Nähe ist, sind solche Überlegungen Gold wert. Im eher anwendungsorientierten Bereich ist das den meisten wohl zu "unbequem". Augenzwinkern

Hat man allerdings einen PC zur Verfügung, dann lässt man sowieso gleich diesen die ganze Arbeit machen ... Big Laugh

air

11.04.2010, 19:58

heimeldeimel

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super, das werde ich mir auch nochmal genauer anschauen und ausprobieren. Für sowas brauche ich viel Zeit.
vielen Dank

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