Quotientenvektorraum

12.04.2010, 15:08

Newcomer2009

Quotientenvektorraum

Meine Frage:
Bestimmen Sie für die lineare Abbildung

F: $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{3} \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{2} \end{eqnarray*}$ ,

( $\begin{eqnarray*} z_{1},z_{2},z_{3} \end{eqnarray*}$ ) |---> ( $\begin{eqnarray*} iz_{1},z_{2}+z_{3} \end{eqnarray*}$ )
den Quotientenvektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{3} \end{eqnarray*}$ / Ker F.

Meine Ideen:
Also ist mein Ker f der Untervektorraum von meinem $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{3} \end{eqnarray*}$ ? Ich bin ein wenig verwirrt normal mach ich das mit reellen Zahlen und einem Untervektorraum. Wenn ich das hier rauf übertrage, dann müsste ich ja eigentlich einfach eine Basis aus $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{3} \end{eqnarray*}$ + Ker F machen oder?

13.04.2010, 15:04

Reksilat

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RE: Quotientenvektorraum
Der Kern ist ein Teilraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^3 \end{eqnarray*}$ , das ist richtig.
Und den Quotientenraum (bzw. Faktorraum) kannst Du anhand einer Basis der Form
$\begin{eqnarray*} \{v_1+{\rm Ker}(F), v_2+{\rm Ker}(F), ...,v_r+{\rm Ker}(F)\} \end{eqnarray*}$ , mit geeigneten $\begin{eqnarray*} v_i\in\mathbb{C}^3 \end{eqnarray*}$
angeben.

Gruß,
Reksilat.

13.04.2010, 19:58

Newcomer2009

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RE: Quotientenvektorraum
$\begin{eqnarray*} \mathbb C^{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} z_{1} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} z_{2}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} z_{3}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Ist das die Basis von meinem $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{3} \end{eqnarray*}$ ?
und mein Ker F ist wenn ich es richtig gemacht habe $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ z_{2} \\ -z_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dann weiß ich doch, dass mein Quotientenvektoraum die Dimension 2 hat.

Kann ich dann nicht einfach mein $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{3} \end{eqnarray*}$ - Ker F machen? :P

Also danke erst mal für deine Antwort, aber ich verstehe es nicht ganz.

V/Ker F --> Im F ? Stimmt das bei diesem Beispiel hier?

13.04.2010, 20:14

WebFritzi

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RE: Quotientenvektorraum

Zitat:

Original von Newcomer2009
$\begin{eqnarray*} \mathbb C^{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} z_{1} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} z_{2}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} z_{3}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Ist das die Basis von meinem $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{3} \end{eqnarray*}$ ?

Nein, das ist kompletter Unfug. Der $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ ist eine Menge. Das, was du da aufgeschrieben hast, ist keine Menge, sondern eine Linearkombination von drei Vektoren (sofern die z's komplexe Zahlen sein sollen - das hast du ja auch nicht angegeben). Folgendes kann man schreiben:

$\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 = \left\{z_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + z_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z_3\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} : z_1,z_2,z_3\in\mathbb C\right\}. \end{eqnarray*}$

Oder auch gleich

$\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 = \left\{\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix} : z_1,z_2,z_3\in\mathbb C\right\}. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Newcomer2009
und mein Ker F ist wenn ich es richtig gemacht habe $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ z_{2} \\ -z_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Du hast den Kern richtig ausgerechnet, aber das ist genauso Unfug, denn auch der Kern einer linearen Abbildung ist eine Menge. Es ist

$\begin{eqnarray*} \operatorname{ker}F = \left\{\begin{pmatrix} 0 \\ z \\ -z \end{pmatrix} : z\in\mathbb C\right\}. \end{eqnarray*}$

Der Kern ist also eine Gerade, die durch den Vektor w = (0,1,-1) aufgespannt wird. Finde nun zwei Vektoren u und v aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3, \end{eqnarray*}$ so dass {u,v,w} linear unabhängig ist.

BTW: Achte bitte ein wenig mehr auf deine Rechtschreibung. Insbesondere solltest du Satzzeichen setzen. Das erhöht die Lesbarkeit deines Textes erheblich.

13.04.2010, 20:18

Newcomer2009

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RE: Quotientenvektorraum
OK ich habe mir mal das angeguckt was du mir geraten hast und versuche es mal so:

$\begin{eqnarray*} v_{1}=\begin{pmatrix} 0 \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ z_{2} \\ -z_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ y+z_{2} \\ z-z_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.04.2010, 20:19

Newcomer2009

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RE: Quotientenvektorraum
WebFritzi ja dafür habe ich auch Punkte Abzug bekommen in der Klausur, weil ich es nie in Mengenklammer geschrieben habe traurig

und jetzt mach ich es schon wieder falsch...

13.04.2010, 20:23

WebFritzi

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RE: Quotientenvektorraum

Zitat:

Original von Newcomer2009
OK ich habe mir mal das angeguckt was du mir geraten hast und versuche es mal so:

$\begin{eqnarray*} v_{1}=\begin{pmatrix} 0 \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ z_{2} \\ -z_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ y+z_{2} \\ z-z_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was ist dabei dein Ziel? verwirrt

13.04.2010, 20:32

Newcomer2009

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RE: Quotientenvektorraum
Also w,v und u sollen linear unabhängig sein.

w $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +v $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +u $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das soweit?

13.04.2010, 20:42

WebFritzi

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Du hast die Aufgabe richtig gelöst. Aber du schreibst einfach mal etwas auf, was kein Mensch außer dir selber versteht. Es ist so schlicht falsch. wenn doch v, w und u linear unabhängig sein sollen, dann sind es Vektoren. In deiner Darstellung sind es aber (wohl wahrscheinlich) Zahlen.

Ich erwarte im folgenden Beitrag von dir, dass du mir eine verständliche Aussage präsentierst, der man einen Wahrheitsgehalt zuordnen kann.

Der Aussage "Es gilt 1 = 2x." kann man z.B. keinen Wahrheitsgehalt zuordnen, denn es ist nicht erklärt, was x sein soll. So ist die Aussage schlicht Unsinn. Wenn du aber jetzt z.B. noch dazu schreibst, x sei 3, dann kann man sagen, dass die Aussage falsch ist. Ihr Wahrheitsgehalt ist "FALSCH".

Präsentiere mir also bitte eine Aussage betreffend der vorliegenden Aufgabe, der man einen Wahrheitsgehalt zuordnen kann. Sonst kommen wir hier nicht weiter.

13.04.2010, 20:52

Newcomer2009

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Der Kern ist eine Gerade, die durch den Vektor w = (0,1,-1) aufgespannt wird.
Um die Aufgabe zu lösen muss ich zwei weitere Vektoren finden, die linear unabhängig sind.
Daher wähle ich als ersten Vektoren v = (0,1,2) und als zweiten Vektoren u = (0,1,3). Diese 3 Vektoren sind aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{3} \end{eqnarray*}$ und linear unabhängig. Ich hoffe du meintest es so und ich kriege nicht noch einen auf den Deckel, aber recht hast du ja.

13.04.2010, 23:38

WebFritzi

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Zitat:

Original von Newcomer2009
Um die Aufgabe zu lösen muss ich zwei weitere Vektoren finden, die linear unabhängig sind.

Das ist so nicht richtig. Ich habe es oben korrekt formuliert.

Zitat:

Original von Newcomer2009
Daher wähle ich als ersten Vektoren v = (0,1,2) und als zweiten Vektoren u = (0,1,3). Diese 3 Vektoren sind aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{3} \end{eqnarray*}$ und linear unabhängig.

Nein, das sind sie nicht. Sorry, ich hatte mich oben verzettelt und nehme den Satz "Du hast die Aufgabe richtig gelöst" zurück. Überleg dir zwei andere Vektoren.

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