Ableitung ganzrationaler Fuktionen

12.04.2010, 16:43

qOLDiiiii :)

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Ableitung ganzrationaler Fuktionen

Hallo Leute!
Ich hab hier einen Aufgabe bei der ich nicht weiter komme:

Für welches $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ berühren sich die Schaubilder von $\begin{eqnarray*} f_{t}(x)= t (9- x^{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = x + 3 \end{eqnarray*}$ ?

Ich hatte den Ansatz die beiden Gleichungen gleichzusetzen aber das macht man ja bei Schnittpunkten und nicht bei Berührpunkten... oder?!

Vielen Dank schon mal!! Gott

Gott

qOLDiiiii

smile

12.04.2010, 16:49

Mulder

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RE: Ableitung ganzrationaler Fuktionen

Zitat:

Original von qOLDiiiii
Ich hatte den Ansatz die beiden Gleichungen gleichzusetzen aber das macht man ja bei Schnittpunkten und nicht bei Berührpunkten... oder?!

Du willst hier nicht Gleichungen, sondern Funktionen gleichsetzen! Ansonsten gehen deine Überlegungen schon in die richtige Richtung.

Was weißt du denn alles über den Berührpunkt zweier Kurven?

12.04.2010, 16:57

qOLDiiiii :)

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oke und wenn ich funktionen gleichsetze?!

mich verwirrt diese $\begin{eqnarray*} f_{t}(x) \end{eqnarray*}$ ..?!
naja is gerade unser thema in mathe mit ableitung und tangenten und so aber so ganz verstanden hab ich nich alles smile

smile

also der berührpunkt liegt auf einer der geraden denk ich mal
aber ich verseth nich was man hier sucht

sry unglücklich

unglücklich

qOLDiiiii

smile

12.04.2010, 17:06

Mulder

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Auszug aus Wikipedia:

Zitat:

Die Berührung zweier mathematischer Kurven ist, in einem gemeinsamen Punkt (Berührpunkt) übereinstimmende Tangenten zu haben.

Hast du eine Idee, wie man das nun übersetzen könnte? smile

smile

12.04.2010, 17:17

qOLDiiiii :)

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den ersten Teil versteh ich glaub aber übereinstimmende Tangenten..?!

zwei Kurven berühren sich im Berührpunkt..

wir haben das so aufgeschriben daraus werd ich aber weniger schlau:

eine Gerade t durch den Punkt $\begin{eqnarray*} P_{0} \end{eqnarray*}$ des schaubildes K der Funktion $\begin{eqnarray*} P_{0} (x_{0} / f (x_{0}) \end{eqnarray*}$ heißt Tangente an k in $\begin{eqnarray*} P_{0} \end{eqnarray*}$ , wenn t die Steigung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ´´strich´´ $\begin{eqnarray*} (x_{0}) \end{eqnarray*}$ hat

??!!! unglücklich

unglücklich

12.04.2010, 17:22

Mulder

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Also übersetzen wir das mal:

Ein Berührpunkt zweier Kurven ist ein Punkt, in dem die beiden Kurven sich schneiden und die gleiche Steigung (also die gleiche Tangente in diesem Punkt) haben. Die Steigung kriegst du ja über die Ableitung.

Damit also f(x) und g(x) sich in einem Punkt berühren, müssen zwei Dinge gelten:

$\begin{eqnarray*} f(x) = g(x) \end{eqnarray*}$ (Schnittpunkt)

und darüber hinaus auch noch

$\begin{eqnarray*} f'(x) = g'(x) \end{eqnarray*}$ (gleiche Steigung in diesem Punkt)

Verständlich? So, nun mal los! Den Rest schaffst du! smile

smile

Edit: Pardon, Tippfehler korrigiert.

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12.04.2010, 17:33

qOLDiiiii :)

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oke

smile

ich hab das mal gelich gesetzt? wenn man das machen kann

obwohls eigentlich sinnlos ist oder eine Gleichung mit zwei Unbekannten?

$\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = g (x) \end{eqnarray*}$ und dann bin ich so vorgegangen:
$\begin{eqnarray*} t( 9 - x^{2}) = x + 3 \end{eqnarray*}$
usw?

Ergebnis
$\begin{eqnarray*} x = -t x^{2} + 9 t - 3 \end{eqnarray*}$

so aber wie war das mit der Steigung für was brauch ich die
und meine Frage zu Beginn.. ich suche?!!.. Einen Schnittpunkt oder ??!!

12.04.2010, 17:38

Mulder

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Ja, du suchst einen Punkt, in dem sich die beiden Funktionen schneiden. Und noch mehr: Einen Punkt, in dem sich die Kurven schneiden und ZUDEM noch die gleiche Steigung besitzen. Das ist eine schärfere Bedingung als "nur" ein Schnittpunkt, weil beides zugleich in diesem einen Punkt gelten muss. Okay

$\begin{eqnarray*} t(9-x^2) = x+3 \end{eqnarray*}$

ist die erste Bedingung, die erfüllt sein muss.

Nun hast du richtig erkannt, dass du ja zwei Unbekannte hast, einmal die Variable x, und einmal den Paramter t. Und darum brauchen wir eine zweite Bedingung (also eine zweite Gleichung). Dann haben wir zwei Gleichungen und zwei Unbekannte. Das haut dann genau hin.

Es gibt ja noch eine zweite Bedingung, nämlich dass die beiden Funktionen die gleiche Steigung haben müssen. Das heißt, du musst auch noch die beiden Ableitungen gleich setzen.

Hast du die Ableitungen schon? Wie lauten sie? Und dann setz sie mal gleich. Das kannst du dann nach x auflösen.

12.04.2010, 17:53

qOLDiiiii :)

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oke ableitung von $\begin{eqnarray*} g(x) = 1 \end{eqnarray*}$ ?!

und von $\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = t \times 2 x \end{eqnarray*}$ ?

aber mit dem t fällt das weg

tut mir leid mit dem g strich (X) versteh ich beim formeleditor nich?!! unglücklich

unglücklich

unglücklich

...

12.04.2010, 17:59

Mulder

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RE: Ableitung ganzrationaler Fuktionen

Zitat:

Original von qOLDiiiii
und von $\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = t \times 2 x \end{eqnarray*}$ ?

Das ist nicht richtig.

$\begin{eqnarray*} f_t(x) = 9t - tx^2 \end{eqnarray*}$

Was ist die Ableitung?

Für den Strich: Zitier doch meinen Text, dann siehst du es. Und ein Malzeichen kriegst du im Formeleditor mit \cdot smile

smile

12.04.2010, 18:06

qOLDiiiii :)

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oh oke..
dann probier ich das nochmal.. ich muss vielleicht dazu sagen, dass wir noch keine ableitung mit 2 Variablen gemacht haben unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 1- 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x) = 1 \end{eqnarray*}$

12.04.2010, 18:11

Mulder

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RE: Ableitung ganzrationaler Fuktionen

Zitat:

Original von qOLDiiiii
dann probier ich das nochmal.. ich muss vielleicht dazu sagen, dass wir noch keine ableitung mit 2 Variablen gemacht haben

Vorsicht: Das sind nicht zwei Variablen! Du hast nur eine Variable, nämlich das x. Das t ist nur ein fester Parameter, den behandelst du beim Ableiten wie eine gewöhnliche Zahl.

Deine Ableitung stimmt immer noch nicht. Dir macht wohl das t zu schaffen. Nochmal: Behandle das t wie eine stinknormale Zahl. Stell dir einfach vor, dass dort statt dem t irgendeine Zahl stünde.

Was ist die Ableitung von

$\begin{eqnarray*} f(x) = 18-2x^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x) = 27-3x^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x) = 36 - 4x^2 \end{eqnarray*}$ ? (musst du jetzt nicht alles hierhinschreiben, ist für dich nur zur Illustration)

Und dann leite nochmal $\begin{eqnarray*} f(x) = 9t-tx^2 \end{eqnarray*}$ ab. Du musst es ja verinnerlichen. smile

smile

12.04.2010, 18:34

qOLDiiiii :)

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Oke ich versteh das gerade aber überhaupt nicht mit dem t ?! was mach ich mit einer ganz normalen Zahl..?!!

12.04.2010, 18:42

Mulder

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RE: Ableitung ganzrationaler Fuktionen
Ich kann das mit dem t nicht noch ausführlicher erläutern, als ich es schon getan habe.

$\begin{eqnarray*} f_t(x) = 9t-tx^2 \end{eqnarray*}$

Die 9t fallen einfach weg. Ist klar, warum? Bleibt noch das -tx². Die Faktorregel besagt ja, dass ein konstanter Vorkfaktor beim Ableiten erhalten bleibt. Der konstante Vorfakor ist hier einfach -t. Ableiten musst du also nur noch das x², und das ist 2x. Also ist die gesamte Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f_t'(x) = 0 -2tx = -2tx \end{eqnarray*}$

So ähnlich sah auch dein allererster Versuch aus, da fehlte nur das Minus.

12.04.2010, 19:10

qOLDiiiii :)

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RE: Ableitung ganzrationaler Fuktionen
oke.. ja weil eine normale zahl ja einfach weg fällt und man das t wie eine normale zahl behandelt...folglich:
$\begin{eqnarray*} f_t'(x) = -2tx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g '(x) = 1 \end{eqnarray*}$

um das nochmal zusammen zu fassen

die andern beiden Gleichungen waren:
$\begin{eqnarray*} f_{t} (x)= (9 - x^{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g (x)= x + 3 \end{eqnarray*}$

die unteren beiden ergebn gleichgesetzt
$\begin{eqnarray*} x= - tx^{2} + 9t - 3 \end{eqnarray*}$

richitg soweit was mach ich dann die ableitungen auch gleichsetzten oder?

Danke schon mal soweit smile

smile

smile

..und iwe komm ich da auf Koordinaten?!

12.04.2010, 19:15

qOLDiiiii :)

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*wie* wollte ich schreiben smile

smile

12.04.2010, 19:23

Mulder

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Ich hoffe, dass das wirklich klar ist mit dem t. Nicht dass später in der Klausur wieder die große Ratlosigkeit Einzug hält. Nun denn. Wir haben also jetzt zwei Gleichungen gefunden:

$\begin{eqnarray*} -2tx = 1 \qquad (1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9t-tx^2=x+3 \qquad (2) \end{eqnarray*}$

Gleichung (1) sind die Ableitungen gleichgesetzt, und Gleichung 2 sind die Ausgangsfunktionen gleich gesetzt. Gut. Jetzt willst du das t haben, für das beide Gleichungen erfüllt sind. Das ist jetzt nur noch ein simples Gleichungssystem, das solltest du lösen können.

Löse Gleichung (1) nach x auf und setze das dann in Gleichung (2) ein.

12.04.2010, 19:33

qOLDiiiii :)

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oke ja das hoffe ich auch ... smile

smile

für Gleichung (1)
$\begin{eqnarray*} x = 1 + 2 t \end{eqnarray*}$

und das in die 2. Gleichung einsetze...

$\begin{eqnarray*} 9t- t (1 +2t)^{2} = 1 + 2t +3 \end{eqnarray*}$

12.04.2010, 19:36

Mulder

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Zitat:

Original von qOLDiiiii
$\begin{eqnarray*} x = 1 + 2 t \end{eqnarray*}$

unglücklich

$\begin{eqnarray*} -2t \cdot x = 1 \end{eqnarray*}$

Wie kriegt man da nun das x?

12.04.2010, 19:38

qOLDiiiii :)

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wenn das soweit stimmt ...?

dann hab ich jez en kleines Problem vielleicht?! smile

smile

$\begin{eqnarray*} -5 = - 7t - 4t^{2} \end{eqnarray*}$

wenn ich die Wurzel ziehe muss ich das doch auf beiden Seiten machen oder??!

12.04.2010, 19:39

qOLDiiiii :)

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ohh oke ...

da muss ich nochmal von Neuem beginnen.. wenn ich jez was falsches eingesetzt habe unglücklich

unglücklich

12.04.2010, 19:45

qOLDiiiii :)

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oh NEIN welch blöder Fehler unglücklich

unglücklich

unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} -2t \cdot x = 1 \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{-2t} \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

12.04.2010, 19:47

Mulder

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Ja, nur weiter.

12.04.2010, 19:53

qOLDiiiii :)

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oke

smile

smile

smile

und wenn ich das nun einsetze :

$\begin{eqnarray*} 9t -t \cdot (\frac{1}{-2t} )^2 = (\frac{1}{-2t} )^2 +3 \end{eqnarray*}$

falss das richtig ist benötige ich etwas Hilfe beim Auflösen dieser Brüche bin mir nicht mehr sicher..?!

12.04.2010, 19:57

Mulder

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Bring erstmal alles auf eine Seite, so dass auf einer Seite 0 steht. Dann läuft das Ganze auf die pq-Formel hinaus.

Und hier...

Zitat:

Original von qOLDiiiii
$\begin{eqnarray*} ... = (\frac{1}{-2t} )^2 +3 \end{eqnarray*}$

hat sich ein ² zuviel eingeschlichen.

12.04.2010, 19:58

qOLDiiiii :)

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oh oke gut

ah blöd!!... kommt vom faulen rüber kopieren und nciht aufpassen ..DANKE smile

smile

12.04.2010, 20:04

qOLDiiiii :)

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$\begin{eqnarray*} 9t -t \cdot (\frac{1}{-2t} )^2 - (\frac{1}{-2t} )+3 = 0 \end{eqnarray*}$

so und jetzt muss ich die klammern auflösen oder?

12.04.2010, 20:06

Mulder

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Da wird kein Weg dran vorbei führen. Du darfst dich auch ruhig trauen, mal mehr als einen Schritt zu machen, ehe du wieder nachfragst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.04.2010, 20:07

qOLDiiiii :)

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ich schaffes immer wieder so blöde Fehler einzu bauen... smile

smile

..ich werde es mal versuchen smile

smile

12.04.2010, 20:19

qOLDiiiii :)

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latex]( \frac{ 1^2}{4 t^2} ) [/latex]
wie geht das auflösen?! unglücklich

unglücklich

unglücklich

12.04.2010, 20:21

qOLDiiiii :)

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´tschuldigung
$\begin{eqnarray*} ( \frac{ 1^2}{4 t^2} ) \end{eqnarray*}$
wie geht das auflösen?! unglücklich

unglücklich

unglücklich

12.04.2010, 20:25

Mulder

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Zitat:

Original von qOLDiiiii
$\begin{eqnarray*} ( \frac{ 1^2}{4 t^2} ) \end{eqnarray*}$
wie geht das auflösen?!

Was willst du da noch auflösen? 1² = 1 , ansonsten kann man das nicht mehr vereinfachen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Davor steht ja noch ein t, damit kannst du kürzen:

$\begin{eqnarray*} 9t- t\cdot \frac{1}{4t^2} +\frac{1}{2t} -3 = 0 \end{eqnarray*}$

Dann bring die beiden Brüche in der Mitte eben noch auf einen gemeinsamen Nenner.

12.04.2010, 20:31

qOLDiiiii :)

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$\begin{eqnarray*} 9t- t\cdot \frac{1}{4t^2} +\frac{4}{4t^2} -3 = 0 \end{eqnarray*}$

aber wie get es jez weiter ich will doch t?!

12.04.2010, 20:34

Mulder

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Zitat:

Original von qOLDiiiii
$\begin{eqnarray*} 9t- t\cdot \frac{1}{4t^2} +\frac{4}{4t^2} -3 = 0 \end{eqnarray*}$

Was hast du da denn nun schon wieder fabriziert? verwirrt

verwirrt

Erstmal solltest du eigentlich $\begin{eqnarray*} t \cdot \frac{1}{4t^2} \end{eqnarray*}$ kürzen, das ergibt dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4t} \end{eqnarray*}$ .

Und dann zusammenfassen. Es ist ja

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2t} = \frac{2}{4t} \end{eqnarray*}$

12.04.2010, 20:42

qOLDiiiii :)

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sry

smile

...
ich glaube ich werde nie auf das Ergebnis der Aufageb kommen .. unglücklich

unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} 9 t -\frac{1}{4t} -3 = 0 \end{eqnarray*}$

das habe ich jetzt ..?!

12.04.2010, 20:47

Mulder

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Tja, im Moment tust du dich etwas schwer, stimmt. Steckt auch schon wieder ein Fehler drin:

Zitat:

Original von qOLDiiiii
$\begin{eqnarray*} 9 t -\frac{1}{4t} -3 = 0 \end{eqnarray*}$

Das haut nicht hin. Es war doch $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4t}+\frac{2}{4t}= + \frac{1}{4t} \end{eqnarray*}$

Also insgesamt (damit wir endlich fertig werden hier):

$\begin{eqnarray*} 9t + \frac{1}{4t}-3 = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt auf beiden Seiten erst mit t multiplizieren und dann noch durch 9 teilen. Dann kannst du endlich die Lösung mit der pq-Formel bestimmen.

12.04.2010, 20:53

qOLDiiiii :)

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mitternachtsformel smile

smile

pq formel habe ich nie gemacht smile

smile

ich hab :
$\begin{eqnarray*} 0= 9t^2- 3t +\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

also für a= 9, b = -3 und c= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
hoffe das stimmt
das müsste ich jez hinbekommen.. smile

smile

DANKE nochmal

12.04.2010, 20:59

Mulder

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Mitternachtsformel geht natürlich auch, ja. Am Ende solltest auf auf t = (1/6) kommen.

Die Bilder machen dir vielleicht auch nochmal den Unterschied zu einem "normalen" Schnittpunkt klar.

Ich bin nun auch weg. Wink

Wink

12.04.2010, 21:00

qOLDiiiii :)

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oke gut VIELEN DANKE smile

smile

smile

: )

qOLDiiiii smile

smile

Wink

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