Skizze einer Menge eines Lösungsraums (4x4-Matrix)

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crosell Auf diesen Beitrag antworten »
Skizze einer Menge eines Lösungsraums (4x4-Matrix)
Meine Frage:
Hi Leute,

hab grad nen paar Vorstellungsprobleme, was ff. Teilaufgabe zu einer Komplexaufgabe betrifft:

Gegeben war eine 4x4-Matrix mit Variablen a,b,c aus K. Man musste Adjunkte bestimmen etc. pp. Nun soll noch zusätzlich eine Skizze angefertigt werden für die Menge . Ebenfalls soll festgestellt werden in wieviele zusammenhängende Gebiete M den euklidischen Raum unterteilt.

Meine Ideen:
Die Symmetrie der Matrix lässt nur die geraden Ränge zu und aus der Determinante habe ich ermittelt, dass der Rang gerade dann kleiner als 4 ist, wenn das geometrische Mittel von ist. Und nun hapert es an der Vorstellung. Als Hinweis wurde noch gegeben, dass man a fix wählen soll und dann ebene Schnitte von M betrachtet. Damit hab ich auch angefangen, zuerst mit a=0 dann kämen die b- und c-Achse in Frage, für a=1 müsste ja b das Reziproke zu c sein oder umgekehrt. Ich kanns mir nur leider nicht vorstellen und auf dem Blatt auch schlecht zeichnen. Meine zweitere und glaub ich auch bessere Idee, geht indirekt vor, dass ich mir überlege, für welche Vektoren aus dem Euklidraum die erste Komponente nicht das geometrische Mittel der anderen beiden ist, weil ich denke, dass diese Menge kleiner ist als die andere und damit sich die Menge und die Zusammenhängenden Gebiete auch besser vorstellbar werden. Bin etwas ratlos.

Wäre dankbar, wenn ihr mir ein wenig auf die Sprünge helfen könntet.

Grüße Crosell smile
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist immer hilfreich zunächst die Menge ordentlich hinzuschreiben. Du sagts a ist das geometrische Mittel von b,c ? Dann ist die Menge also :



Was man sofort sieht ist das bc >= 0 gelten muss, sprich entweder sind b,c negativ oder positiv. Ich würde mir a als Funktion von b und c vorstellen. Dabei bezeichnet a die z-Achse und b,c jeweils x und y. Wenn jetzt b = 1 ist, dann hast Du einfach die Wurzelfunktion entlang einer Achse. Wenn c = 1 ist, dann hast Du die Wurzelfunktion entlang der anderen Achse. Hälst Du b fest, dann ist a einfach die Wurzel von c multipliziert mit einem konstanten Faktor , nämlich wurzel aus b.

Ich gehe natürlich davon aus das Du richtig gerechnet hast, da Du uns die Matrix ja verschwiegen hast Augenzwinkern
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte hier halt nicht die ganze Aufgabe breittreten, aber ja die Menge wäre so korrekt beschrieben. Die Matrix dazu ist, falls jemand einfach so Interesse dran hat: .

Ich muss sagen, dass ich ein kleines Argumentationsproblem mit dem Rang 3 hab, aber der kann dort nicht auftreten, wegen genannter Symmetriegründe. Ja zu der Menge, jetzt wo du sie so hinschreibst, isses natürlich offensichtlich, dass b,c negativ oder positiv beide sein müssen. Wäre ja schonmal im Raum ne erste Orientierung. Die Ideen mit den Wurzelfkt. muss ich mir mal skizzieren. Wenn dir anhand der Matrix noch mehr einfällt, bin ich gern bereit zuzuhören smile Danke schonmal für das bisher
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs mal durchgerechnet, für die a,b,c muss gelten, also alles in Ordnung. Fehlt nur noch das zeichnen Augenzwinkern
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Wir befinden uns ja im Euklidischen Raum und der Körper ist R. Was würdest du sagen, wenn die menge einfach der R³ ist ohne den Raum für den b oder c negativ ist. Denn kann man nicht eigentlich für jedes a so ein Paar bc finden, sodass die Bedingung erfüllt ist. Wir reden hier ja nicht von natürlichen Zahlen. Ist schon spät, daher kanns natürlich auch totaler Müll sein, was ich hier schreib, wenn ja einfach klarstellen.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was würdest du sagen, wenn die menge einfach der R³ ist ohne den Raum für den b oder c negativ ist.


Da würde ich sagen das ist falsch. Du findest zwar für jedes a die Werte b,c, aber das ist nicht hinreichend dafür das die 2 Halbquader (ich nenne das jetzt mal so) den ganzen Raum beschreiben. Wie sieht es etwa mit (2,1,1), dieser Punkt hat stets positive Einträge aber es gilt nicht . Nein, die Menge für die der Rang kleiner als 4 ist bildet eine Fläche im R³. Stelle dir einen, um den Ursprung zentrierten Kelch vor (ohne Stil), der zunächst stark nach oben strebt, dann aber immer weniger (ähnlich der Wurzelfunktion), und zusätzlich 2 Einschnitte (auf den undefinierten bereichen) besitzt. Das ist deine Menge.

edit :

Ich hab jetzt nicht mehr viel Zeit, daher der etwas lausige Plot, Kelch ist eine falsch gewählte beschreibung.
 
 
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sag ja is schon spät. So ein einfaches Gegenbeispiel wär mir sicherlich auch noch eingefallen. Könntest du mir mal nen Tipp geben welches Programm man da so nehmen kann, hätte gern mal eins zum 3d-plotten, so am liebsten als freeware. Hab bis jetz nur geogebra für einige anwendungen, aber für 3d hält das nich her. Die gekrümmten Flächen machen bei der Gleichung definitiv mehr Sinn. Hat mich auch irgendwie schon gewundert. Das es sich gerade um zwei Flächen handelt mit Schnitt bei 0 ist doch sicherlich auch kein Zufall, wenn der Rang 2 oder 0 ist.

Danke für den Plot Mazze Wink
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Der Plot ist im Übrigen nicht vollständig. Du müsstest die Fläche an der xy-Ebene nochmal spiegeln. Denn die eigentlich Gleichung ist



und das erlaubt auch negative a. Was das Plotten angeht :

Winplot - freeware
Gnuplot - benutze ich seit neuestem und ist sehr mächtig , auch freeware
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Tipps. Das wird mir in Zukunft sicherlich noch sehr viel helfen. Ich versuch mich gleich mal an Gnuplot und plotte mir das.

Danke vielmals smile

Mal sehen ob das klappt mit dem Einfügen hier:
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

So nun hab ich mich auch mal mit etwas graphischer gerüstet. Hier nochmal schön anschaulich wens interessiert smile

Damit ist der Thread geschlossen soweit Augenzwinkern
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