Substitution bei Taylorreihe

12.04.2010, 21:09

noob5

Substitution bei Taylorreihe

Meine Frage:
Hallo,

ich brauche dringend eure Hilfe zur Taylorreihe. Es geht darum, die MacLaurinsche Reihe auf Taylorsche Reihe zu verallgemeinern, damit die Entwicklungsstelle $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt werden kann.
Es muss also gezeigt werden, wie man von
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x^{n}}} \end{eqnarray*}$
auf
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}{(x-x_{0})^{n}}} \end{eqnarray*}$
kommt. In der mir vorliegenden Literatur (Welter, Mathematik für Physiker 1) wird dies durch Substitution gezeigt.
Es wird $\begin{eqnarray*} u = x -x_{0} \end{eqnarray*}$ gesetzt also gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x) = f(u+x_{0}) \end{eqnarray*}$
Soweit ist noch alles klar. Allerdings wird auf der rechten Seite der MacLaurin Reihe das x nicht substituiert!
Es heißt jetzt nun in dem Buch, dass die Variable u bei $\begin{eqnarray*} x = x_{0} \end{eqnarray*}$ Null ist und dass damit die neue Funktion $\begin{eqnarray*} f(u+x_{0}) \end{eqnarray*}$ an der Stelle u = 0 nach u entwickelt werden kann:
$\begin{eqnarray*} f(x) = f(u +x_{0}) = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(0 + x_{0})}{n!}{u^{n}}} \end{eqnarray*}$
Könnt ihr mir erklären, wie man auf diese Gleichung kommt? Für mich ist das falsch substituiert, weil man ja nicht für jedes x $\begin{eqnarray*} u + x_{0} \end{eqnarray*}$ einsetzt.

Meine Ideen:
Mir ist bewusst, dass es sich um eine Funktion von u handelt. Allerdings kann man doch nicht einfach sagen, dass sie diese bei $\begin{eqnarray*} u = 0 \end{eqnarray*}$ nach u entwickeln lässt. Oder doch?

Vielen Dank

12.04.2010, 23:19

noob5

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für den Doppelpost, aber die 15 Minuten sind abgelaufen.

Hier findet ihr die Stelle in der Literatur. Ich hoffe, dass ihr mein Problem jetzt besser versteht.

13.04.2010, 21:54

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(u +x_{0}) = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(0 + x_{0})}{n!}{u^{n}}} \end{eqnarray*}$
Könnt ihr mir erklären, wie man auf diese Gleichung kommt? Für mich ist das falsch substituiert, weil man ja nicht für jedes x $\begin{eqnarray*} u + x_{0} \end{eqnarray*}$ einsetzt.

Man hat mit $\begin{eqnarray*} F(u) := f(u+ x_0) \end{eqnarray*}$ die Reihendarstellung:

$\begin{eqnarray*} F(u) = \sum \frac{F^{(n)}(0)}{n!} u^n \end{eqnarray*}$

Einverstanden?

Nun ist aber $\begin{eqnarray*} F^{(n)}(u) = f^{(n)}(u+x_0) \end{eqnarray*}$ (n-te Ableitung nach u)

Folglich

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(u+x_0) = F(u) = \sum \frac{F^{(n)}(0)}{n!} u^n = \sum \frac{f^{(n)}(0 + x_0)}{n!} u^n = \sum \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

13.04.2010, 23:01

noob5

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für diese Darstellung Gott

Jetzt hab ich endlich verstanden wie es funktioniert smile

Das ist ja ein tolles Forum hier
Danke nochmal

Neue Frage »

Antworten »

Substitution bei Taylorreihe

Verwandte Themen