Maße und leere Menge

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xemle75ml Auf diesen Beitrag antworten »
Maße und leere Menge
Meine Frage:
Hallo, ich soll für die Übungen von WT folgende Aufgabe lösen:
Bei Wahrscheinlichkeiten gilt:

Gilt ein analoges Resultat auch für allgemeine Maße? Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an!

Meine Ideen:
Für endliche Maße ist die Sache klar, da jedes endliche Maß mit Hilfe einer Wahrscheinlichkeit dargestellt werden kann: Sei hierzu (,) ein Messraum und , dann gilt:
()=(), was ich in einer anderen Aufgabe bereits bewiesen habe, und für () gilt mit der Vorrausetzung natürlich auch () für
Wie sieht es nun also mit nicht-endlichen Maßen aus? Rein intuitiv würde ich direkt sagen, dass das genannte Resultat auch für allgemeine Maße gilt, allein schon da für jedes Maß gelten muss (was ich für diesen Beweis sicherlich nicht einfach hinschreiben soll, schließlich steht die Aussage auch so im Vorlesungsskript - weswegen ich sowieso ein bisschen verwundert bin über die scheinbare Trivialität der Aufgabe bzw. über den eigentlichen Knackpunkt, den ich nicht zu entdecken scheine)
Danke schon einmal für Lösungsvorschläge
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

*Doppelpost*
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Also ein Ergebnis aus der Masstheorie, das ich kenne ist folgendes:

Sind messbare Mengen mit .
Und dann gilt:

.

Damit kriegst du leicht ne Majorante (unter gewissen Bedingungen) für die Folge deiner .

ps.: ein positives Mass!

Edit: Ich glaube, ich habe irgendwie ein wenig deinen Post verfehlt...

Vielleicht hilft dir ja ein Beispiel, warum nicht weggelassen werden darf.

Sei das Zählmass auf und definiere , dann , obwohl
xemle75ml Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine schnelle Antwort! Danke auch für das Beispiel, ist ein weiterer interessanter Denkanstoß für mich. Allerdings denke ich, dass es mir bei der Lösung der Aufgabe nicht weiterhelfen kann. Ich soll ja untersuchen, ob für allgemeine Maße gilt, dass wenn .
Interessant bei deinem Zählmaß ist, dass , wenn man den Schnitt über alle n aus der Indexmenge betrachtet. Allerdings gilt ja auch , und es gibt ja nicht einmal eine Konvergenz der .
Betrachte ich dieses Beispiel auf meine Aufgabenstellung angewandt, so könnte man ja aufgrund der Forderung die von dir angegebene Folge der Schnitte definieren als . Die Frage wäre also nun, ob für tatsächlich gilt. Würde diese Implikation nun nicht mehr stimmen, dann wäre das Beispiel tatsächlich ein Gegenbeispiel, dass ich für die Aufgabe bringen könnte, wenn also zum Beispiel aus irgendwelchen Gründen oder gelten würde. Allerdings sehe ich selber nicht ein, dass dies der Fall sein könnte, da man mal etwas oberflächlich betrachtet für ja auch keine natürlichen Zahlen mehr hat, die man zählen könnte, wodurch ja eigentlich gelten müsste, oder liege ich da falsch?
Meine Frage wäre also nun, ob es doch noch ein Beispiel für den Fall gibt, oder wie andernfalls der Beweis aussehen könnte, dass eben aus tatsächlich folgt. (Hoffe auch, dass ich an der Sache jetzt nichts falsch verstanden habe).
Wäre sehr dankbar für eine weitere Diskussion und/oder Anregungen smile
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Aus eigener Unwissenheit: wie ist denn definiert?
xemle75ml Auf diesen Beitrag antworten »

ist genau wie die bei der Konvergenz von reellen Zahlenfolgen über den Limessuperior und Limesinferior der Mengenfolge definiert, also eine Folge von Mengen konvergiert gegen eine Menge A wenn gilt:
wobei weiterhin gilt: sowie
 
 
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das wäre dann ja gegeben bei meinem Beispiel. Also

Edit: Beachte, dass für gilt:
xemle75ml Auf diesen Beitrag antworten »

Hey WOW, DANKE! Dein letzter Beitrag hat bei mir die Lampen zum leuchten gebracht, hab vorher noch nen dämlichen Denkfehler dringehabt...das ist ja total genial Hammer Damit ist es auf jeden Fall ein perfektes Beispiel für meine Übung! Eine Sache hätte ich allerdings noch, falls du noch Lust/Zeit hast. Hab mir, damits mathematisch einwandfrei ist, noch Gedanken gemacht wie genau ich die Konvergenz der gegen beweisen kann, das würde das ganze noch schön abrunden.

Rein vom Denken her ist es für mich jetzt offensichtlich, dass gilt, aber wie kann ich das anständig beweisen? Klar ist natürlich, dass durch die Konstruktion deiner Folge
gilt und es sich damit um eine monoton absteigende Folge von Mengen handelt. Wenn ichs schlicht mit den Definitionen von Limesinferior oder Limessuperior versuche komme ich natürlich in beiden Fällen auch nur auf den Ausdruck wodurch ich durch die Gleichheit zwar über die Existenz einer Grenzmenge aufgeklärt bin, sie allerdings nicht direkt als identifizieren kann. Hast du da vielleicht noch ne zündende Idee? Steh grad irgendwie auf dem Schlauch was andere Möglichkeiten angeht..
Danke noch einmal an dieser Stelle
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ist im Prinzip keine Hexerei mehr:

Sei beliebig. Zeige, dass nicht in liegt.

Beachte dabei, dass

xemle75ml Auf diesen Beitrag antworten »

Kann an dieser Stelle nur noch einmal meinen Dank aussprechen, bin grad wirklich begeistert über das Beispiel.. Ja, hast recht, mit dem Ansatz ist der Beweis natürlich direkt klar, vielen Dank!
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Freut mich, wenn's dich freut! Freude

Immer gerne, wenn jemand so motiviert ist. Augenzwinkern

Wink
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