Konvergenz (Reihe), Integralkriterium

13.04.2010, 04:58

Liquor

Konvergenz (Reihe), Integralkriterium

Hey

eine Reihe ist mit Hilfe des Integralkriteriums auf Konvergenz zu überprüfen
$\begin{eqnarray*} \sum_{n>=0}^\infty~ ne^{-n} \end{eqnarray*}$

jetzt erfordert das Integralkriterum doch eine monoton fallende Funktion

das ist im Bsp erst bei n=1 der Fall

darf ich jetzt das Integralkriterium ausschließlich für 1 bis unendlich anwenden?

Und kann ich dann trotzdem behaupten, die Reihe wäre konvergent, da nur endlich viele Glieder meiner der Reihe nicht monoton fallen, d.h. nicht auf Konvergenz überprüft wurden?

außerdem: wie würde ich eigentlich am einfachsten zeigen, dass meine Reihe überhaupt (ab >=1) monoton fällt?

13.04.2010, 05:11

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich kommt es bei der Konvergenz nicht auf endlich viele Glieder an, denn endlich viele Glieder kannst du ja abzählen bzw. hinzuzählen, wie du willst, der Reihenwert bleibt dann immernoch endlich.

Zitat:

außerdem: wie würde ich eigentlich am einfachsten zeigen, dass meine Reihe überhaupt (ab >=1) monoton fällt?

Es gibt verschiedene Wege, zu zeigen, dass die Folge ... $\begin{eqnarray*} (ne^{-n})_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ .
Du könntest z.B. mal die Funktion $\begin{eqnarray*} xe^{-x} \end{eqnarray*}$ näher betrachten (vielleicht sogar mal ableiten?)

13.04.2010, 07:31

Liquor

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!! ^^

Also könnte ich Monotonie einfach nur durch die Extremwerte zeigen?

also so z.B.:?
$\begin{eqnarray*} f(x)=xe^{-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{-x}-e^{-x}*x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-2e^{-x}+e^{-x}*x \end{eqnarray*}$

Nullstelle bei:
$\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} xe^{-x}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N1: n=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N2: -n=ln(0), n=\infty \end{eqnarray*}$

Extremwerte bei:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{-x}-e^{-x}*x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{-x}(1-n)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E1: n=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E2: -n=ln(0), n=\infty \end{eqnarray*}$

Hochpunkt/Tiefpunkt:
$\begin{eqnarray*} E1: f''(1)=-\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ -> Hochpunkt
$\begin{eqnarray*} E2: f''(\infty)=-\frac{2}{e^{\infty}}+\frac{\infty}{e^{\infty}}=0 \end{eqnarray*}$

Würde das so durchgehen um zu zeigen, dass die Fkt zwischen $\begin{eqnarray*} E1=(1, -\frac{1}{e}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E2=(\infty, 0) \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist??

13.04.2010, 08:57

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Sowas:

Zitat:

Original von Liquor
$\begin{eqnarray*} N2: -n=ln(0), n=\infty \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Liquor
$\begin{eqnarray*} E2: -n=ln(0), n=\infty \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Liquor
$\begin{eqnarray*} E2: f''(\infty)=-\frac{2}{e^{\infty}}+\frac{\infty}{e^{\infty}}=0 \end{eqnarray*}$

ist formaler Unfug. Unendlich ist keine Zahl und demzufolge kann man damit nicht rechnen.

Es reicht auch lediglich, daß du zeigst, daß f'(x) < 0 ist für x >= 1. Und das ist relativ simpel.

13.04.2010, 21:20

Liquor

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Sowas:

Zitat:

Original von Liquor
$\begin{eqnarray*} N2: -n=ln(0), n=\infty \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Liquor
$\begin{eqnarray*} E2: -n=ln(0), n=\infty \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Liquor
$\begin{eqnarray*} E2: f''(\infty)=-\frac{2}{e^{\infty}}+\frac{\infty}{e^{\infty}}=0 \end{eqnarray*}$

ist formaler Unfug. Unendlich ist keine Zahl und demzufolge kann man damit nicht rechnen.

Es reicht auch lediglich, daß du zeigst, daß f'(x) < 0 ist für x >= 1. Und das ist relativ simpel.

Danke

aber was wär denn dann N2, E2? Der zweite Fall wär ja $\begin{eqnarray*} e^{-n}=0 \end{eqnarray*}$ . Wäre dann nicht $\begin{eqnarray*} -n=ln(0) \end{eqnarray*}$ ? Das wär ja dann unendlich?
Oder wie soll ich mit dem N2, E2 umgehen? smile

Kann ich einfach nur sagen E2, N2 existieren nicht, da ln ja für 0 nicht definiert ist, dadurch hat meine Funktion nur bei 0 die Nullstelle N1, bei 1 den Extremwert E1, sonst eben existieren keine Nullstellen oder Extremwerte - dadurch kann ich einfach nur irgendeinen beliebigen Wert > E1 in f'(x) setzen um Monotonie ab E1 zu zeigen?

14.04.2010, 08:53

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Liquor
Oder wie soll ich mit dem N2, E2 umgehen? smile

Gar nicht. Vergiß diesen Nullstellen- und Extremwertkram. Es reicht lediglich (und da wiederhole meinen letzten Beitrag), daß du zeigst, daß f'(x) < 0 ist für x >= 1.

14.04.2010, 12:18

Liquor

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal,

hm dumme Frage, aber wie zeige ich denn sonst, dass f'(x)<0 für ALLE x >=1? verwirrt

Edit: und bräuchte ich nicht zumindest aber den Extremwert um überhaupt zu wissen, dass das ab 1 gelten muss?

14.04.2010, 13:02

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Liquor
hm dumme Frage, aber wie zeige ich denn sonst, dass f'(x)<0 für ALLE x >=1? ?

Indem man sich einfach mal f'(x) intensiver anschaut. Ohne die Differentialrechnung zu bemühen, kann man ja auch leicht zeigen, daß -x² < 0 ist.

Zitat:

Original von Liquor
Edit: und bräuchte ich nicht zumindest aber den Extremwert um überhaupt zu wissen, dass das ab 1 gelten muss?

Nein. Man braucht nur die fallende Monotonie ab einem x.

14.04.2010, 13:03

Liquor

Auf diesen Beitrag antworten »

Dickes Danke smile

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz (Reihe), Integralkriterium

Verwandte Themen