sin(Pi/6) = 1/2

13.04.2010, 09:40

Fenio

sin(Pi/6) = 1/2

Moin moin,

ich soll für Analysis zeigen, dass $\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und natürlich keinen Taschenrechner o.ä. benutzen.
Für sin(x) habe ich im zugehörigen Lehrbuch folgendes gefunden:

$\begin{eqnarray*} sin(x) = \frac{1}{2i} ( e^{ix} - e^{-ix} ) \end{eqnarray*}$

ausserdem steht auf dem Übungszettel folgender Hinweis:

$\begin{eqnarray*} (e^{\frac{i \pi}{6}})^3 = i \end{eqnarray*}$

Mein Ergebnis ist nur leider immer wieder -1 statt 1/2, vielleicht findet einer von euch den Fehler (evtl. sogar im Hinweis?)

Meine Rechnung soweit:

$\begin{eqnarray*} sin(\pi/6) = \frac{1}{2i}(e^{\frac{i\pi}{6}} - e^{\frac{-i\pi}{6}}) = \frac{1}{2i} (\frac{(e^{\frac{i\pi}{6}})^2 - 1}{e^{\frac{i\pi}{6}}}) = Hinweis = \frac{1}{2i} (\frac{ \sqrt[3]{i^2} - 1}{\sqrt[3]{i}}) = \frac{ \sqrt[3]{-1} - 1}{2i \sqrt[3]{i}} = \frac{ -1 -1}{2 \sqrt[3]{i^4}} = \frac{ -2}{2 \sqrt[3]{(-1)(-1)}} = \frac{ -2}{2} = -1 \end{eqnarray*}$

unglücklich

Danke schonmal Lesen2

13.04.2010, 09:50

wisili

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RE: sin(Pi/6) = 1/2
Wurzelgesetze gelten nur für reelle, nichtnegative Zahlen. Ausserdem müsste man im Komplexen jeweils 3 Versionen von dritten Wurzeln unterscheiden.

Deine Rechnung weist folgende Gleichsetzungen auf: $\begin{eqnarray*} e^{\frac{i\pi}{6}} = \sqrt[3]{i} = -i \end{eqnarray*}$
Allerdings gilt: $\begin{eqnarray*} e^{\frac{i\pi}{6}} \neq -i \end{eqnarray*}$

13.04.2010, 10:13

Fenio

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Die Besonderheiten der Wurzelgesetzte waren mir tatsächlich nicht klar, wenn ich das bei Wikipedia allerdings richtig verstehe, komme ich beim Wurzel ziehen komplexer Zahlen im Endeffekt nicht weiter, da ich dafür Dinge benutzen müsste die ich noch nicht hatte. Ist die Frage ob das Tatsächlich gewollt ist...

Wo ich $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{i} = -i \end{eqnarray*}$ benutze seh ich ehrlich gesagt nicht. Die 3. Wurzel unter dem Bruchstrich wird zusammen mit dem i vom Bruch vor der Klammer aufgelösst.

13.04.2010, 10:16

wisili

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... und genau dieses Auflösen benützt einerseits unberechtigterweise Wurzelgesetze und andrerseits genau die (nicht so offensichtliche) Gleichsetzung.
(Wenn du $\begin{eqnarray*} 2i \sqrt[3]{i} \end{eqnarray*}$ im Nenner verfolgst, wird es schliesslich zu 1.)

13.04.2010, 10:18

Fenio

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RE: sin(Pi/6) = 1/2
hmmm verstehe, danke erstmal ich werd mal sehen das ich die Wurzelgesetzte korrekt anwende und dann evtl. bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ lande

13.04.2010, 10:33

klarsoweit

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RE: sin(Pi/6) = 1/2
Noch ein schönes Beispiel einer falschen Anwendung der Wurzelgesetze:

$\begin{eqnarray*} -1 = i^2 = \sqrt{(i^2)^2} = \sqrt{(-1)^2} = \sqrt 1 = 1 \end{eqnarray*}$

Was die Aufgabe angeht, bin ich mir nicht sicher, ob die Anwendung von $\begin{eqnarray*} sin(x) = \frac{1}{2i} ( e^{ix} - e^{-ix} ) \end{eqnarray*}$ zum Erfolg führt.

Ich denke, mit der Anwendung von $\begin{eqnarray*} e^{i \phi} = cos(\phi) + i \cdot sin(\phi) \end{eqnarray*}$ sollte es gehen.

13.04.2010, 11:30

Fenio

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RE: sin(Pi/6) = 1/2

Zitat:

Original von klarsoweit
... $\begin{eqnarray*} e^{i \phi} = cos(\phi) + i \cdot sin(\phi) \end{eqnarray*}$ sollte es gehen.

Wie mir das helfen soll ist mir unklar...

Ich starte bei $\begin{eqnarray*} sin(\pi/6) \end{eqnarray*}$ und lande mit der Gleichung bei:

$\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt[3]{i} - cos(\frac{\pi}{6})}{i} \end{eqnarray*}$

bzw. wenn ich den Hinweis nicht benutze bei:
$\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{ e^{ \frac{i\pi}{6}} - cos(\frac{\pi}{6})}{i} \end{eqnarray*}$

Da ich weder cos noch e ausrechnen darf komm ich auch damit nicht weiter, selbst wenn ich cos in $\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) \end{eqnarray*}$ umwandle

Ich habs allerdings mal mit der korrekten Auflösung der Wurzel versucht:

Es gilt $\begin{eqnarray*} i^2 = -1 \end{eqnarray*}$ das werde ich ja hoffentlich auch so auflösen können innerhalb der Wurzel.
dann wäre
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-1} = (-1)^{\frac{1}{3}} = |-1|^{\frac{1}{3}} e^{\frac{i(arg(-1) + 2k\pi)}{3}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \in \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ wähle ich $\begin{eqnarray*} k =1 \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} arg(-1) = \pi \end{eqnarray*}$
ergibt sich $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-1} = e^{\frac{i(\pi + 2\pi)}{3}} = e^{i\pi} = -1 \end{eqnarray*}$
für k=1 und für k = 2 bzw. k = 3 ergibt sich dann $\begin{eqnarray*} e^{\frac{5i\pi}{3}} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} e^{\frac{7i\pi}{3}} \end{eqnarray*}$

Kann ich dann die mir am besten passende Lösung (-1) einfach wählen und damit weiter rechnen?

13.04.2010, 12:58

klarsoweit

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RE: sin(Pi/6) = 1/2

Zitat:

Original von Fenio
Wie mir das helfen soll ist mir unklar...

Dann setz doch mal phi = pi/6 ein und potenziere die Gleichung mit 3.

13.04.2010, 16:24

Fenio

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RE: sin(Pi/6) = 1/2
äääh... also:

$\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi}{6}) = \sqrt[3]{[\dfrac{\sqrt[3]{i} - cos(\frac{\pi}{6}) }{i}]^3} = \sqrt[3]{\dfrac{(\sqrt[3]{i} - cos(\frac{\pi}{6}))^3 }{i^3}} \end{eqnarray*}$ ?? Selbst wenn ich jetzt die Klammer auflöse, bleibt doch wieder eine Wurzel irgendwo über

13.04.2010, 16:49

Leopold

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Für $\begin{eqnarray*} \omega = \operatorname{e}^{\operatorname{i} \frac{\pi}{6}} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \omega^3 = \operatorname{i} \end{eqnarray*}$

Anders gesagt: $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ist eine Nullstelle des Polynoms $\begin{eqnarray*} z^3 - \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt verwende die bekannte Zerlegung

$\begin{eqnarray*} a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} a=z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\operatorname{i} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ keine Nullstelle des linearen Faktors ist, muß es eine Nullstelle des quadratischen Faktors sein.
Und somit mußt du nur noch eine quadratische Gleichung lösen. Das geht hier ganz wie gewohnt.
Und als Präsent bekommst du $\begin{eqnarray*} \cos \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ auch noch gleich dazu.

18.04.2010, 16:48

Fenio

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Danke erstmal für die Hinweise, inzwischen (nach Abgabe und entsprechender Besprechung in der Übung) ist mir auch klar was Leopold meint. Nachdem ich die Vorrechnung gesehen habe, hätte ich aber zwischendurch einfach aufgehört weil ich nicht geglaubt hätte noch aufs Ergebnis zu kommen unglücklich

nächste mal mit mehr Elan smile

19.04.2010, 01:12

WebFritzi

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Zitat:

Original von Fenio
nächste mal mit mehr Elan smile

Und dann auch besserem Lesen der Beiträge. Du hast klarsoweits Tipp von Anfang an nicht umgesetzt.

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sin(Pi/6) = 1/2

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