Maximieren einer Funktion / eines Erwartungswertes

13.04.2010, 11:05

Cel

Maximieren einer Funktion / eines Erwartungswertes

Hallo Leute, ich melde mich mal aus meiner Bachelorphase und habe eine Frage, die zwar irgendwie stochastisch geprägt ist, mein Problem liegt aber in dem Bereich der Analysis. Folgende Funktion ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} E[s(\tilde{x}, \hat{x})] = S + \hat{\alpha} \cdot \hat{x} + \int_{\underline{x}}^{\hat{x}}~\alpha_{2}\cdot (x - \hat{x}) \cdot f(x) dx + \int_{\hat{x}}^{\bar{x}}~\alpha_{1}\cdot (x - \hat{x}) \cdot f(x) dx \end{eqnarray*}$

f ist hier eine beliebige Dichtefunktion, aber das tut nichts zur Sache. Jetzt muss ich das Maximum dieser Funktion (bezüglich x Hut) errechnen. Kein Problem, berechne ich also die partielle Ableitung. Im Buch wurde auch sofort der optimale Punkt $\begin{eqnarray*} \hat{x}^{*} \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Genau so steht es jetzt in meiner Quelle:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial E[s(\tilde{x}, \hat{x}^{*})]}{\partial \hat{x}} = \hat{\alpha} - \alpha_2 \cdot \int_{\underline{x}}^{\hat{x}^{*}}~f(x) dx + \alpha_2 \cdot f(\hat{x}^{*})\cdot (\hat{x}^{*} - \hat{x}^{*}) - \alpha_1 \cdot \int_{\hat{x}^{*}}^{\bar{x}}~f(x) dx - \alpha_1 \cdot f(\hat{x}^{*}) \cdot (\hat{x}^{*} - \hat{x}^{*}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \hat{\alpha} - \alpha_2 \cdot F(\hat{x}^{*}) - \alpha_1 \cdot (1 - F(\hat{x}^{*})) \end{eqnarray*}$

F ist hier zum Schluss die Verteilungsfunktion von f, also eine passende Stammfunktion. Auf dieses Ergebnis bin ich aber auch alleine gekommen. Meine Frage nun: Woher kommt dieser Term, der die Nullen beinhaltet? Wieso stehen hinter den beiden Integralen noch mal zwei Terme, die dann wegfallen?

Wäre für einen Denkanstoß dankbar.

Edit: Ursprüngliche Funktion verbessert.

13.04.2010, 11:31

kiste

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Was ist $\begin{eqnarray*} \underline x,\bar x \end{eqnarray*}$ ? Warum kommt $\begin{eqnarray*} \tilde x \end{eqnarray*}$ nicht vor?

13.04.2010, 11:54

Cel

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Ach so, Verzeihung. Ich schreibe vielleicht doch mal den Kontext hin. Es geht um das Weitzman-Schema, über das ich auch schon hier etwas geschrieben habe.

Ich bin jetzt hier bei dem Fall, dass der Manager einen Bericht $\begin{eqnarray*} \hat{x} \end{eqnarray*}$ abgeben muss. Er weiss allerdings selbst nicht, welches Ergebnis er erreichen kann, er weiss nur, dass das wahre Ergebnis $\begin{eqnarray*} \tilde{x} \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} \underline{x} \text{ und } \bar{x} \end{eqnarray*}$ liegt. Das x Schlange unterliegt der Dichtefunktion f.

Und nun möchte der Manager seine erwartete Entlohnung maximieren. Die Entlohnungsfunktion lautet so (übrigens ergibt sich dadurch auch sofort ein Fehler oben, den ich gleich sofort korrigiere):

$\begin{eqnarray*} s(x, \hat{x}) = \begin{cases}S + \hat{\alpha} \cdot \hat{x}+ \alpha_1 \cdot (x - \hat{x}) & x \geq \hat{x} \\ S + \hat{\alpha} \cdot \hat{x} + \alpha_2 \cdot (x - \hat{x}) & x \leq \hat{x} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ausserdem gilt: $\begin{eqnarray*} 0 < \alpha_1 < \hat{\alpha} < \alpha_2 \end{eqnarray*}$ . S ist eine feste, positive Zahl und gibt die Grundvergütung an.

Ursprünglich wird die Annahme gesetzt, dass das wahre Ergebnis x bekannt ist, nun wurde das Schema so modifiziert, dass es eben nicht bekannt ist und aus dem x wird dann das x Schlange.

14.04.2010, 09:28

Cel

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Hmm, kann da niemand etwas zu sagen? Ich vermute ja, dass ich hier irgendeine Formulierung des Hauptsatzes brauche, die mir aber momentan nicht geläufig ist. Hat ja offenbar etwas damit zu tun, dass die Variable, nach der abgeleitet wird, in der Integralgrenze auftaucht ... Nun, wie gesagt, ich wäre überaus dankbar für Hinweise. Jedenfalls schon mal Danke an dich, kiste, fürs Reinschauen.

14.04.2010, 10:24

Huggy

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Es gilt folgende Regel, für die Ableitung eines Integrals, bei dem die Integrationsgrenze und der Integrand von der Variablen abhängt, nach der man ableitet:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\int_a^x~f(x,t)dt=f(x,x)+\int_a^x~\frac{d}{dx}f(x,t)dt \end{eqnarray*}$

Der erste Term auf der rechten Seite ergibt sich, wie du richtig vermutest, aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Dieser Term ergibt bei dir die Nullterme.

14.04.2010, 18:09

Cel

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Super, vielen Dank, wenn ich die Formel so sehe, leuchtet es ein. Wink

16.06.2010, 11:51

Cel

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Zitat:

Original von Huggy
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\int_a^x~f(x,t)dt=f(x,x)+\int_a^x~\frac{d}{dx}f(x,t)dt \end{eqnarray*}$

Ich möchte das in der Arbeit benutzen, aber nicht beweisen. Worauf kann ich denn verweisen? In welchem Buch wird der Beweis geführt?

16.06.2010, 12:40

system-agent

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Das läuft unter dem Titel "Ableitung von Parameterintegralen" und sollte in jedem Buch über Analysis gezeigt werden.
Also im Forster III habe ich sowas jedenfalls schon gesehen, §11, Satz 2.

16.06.2010, 12:41

Cel

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Herzlichen Dank! smile

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