Bedeutung Stetigkeit, Bedeutung Monotonie fürs Integrieren |
| 13.04.2010, 13:03 | Linn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Bedeutung Stetigkeit, Bedeutung Monotonie fürs Integrieren Hollo zusammen, ich habe demnächst eine mündliche Analysisprüfung und es stellen sich mir einige elementare Fragen... 1. Wozu braucht man Stetigkeit? 2. Warum sind monotone Fkt. integrierbar und was ist z.B. eine nicht monotone Fkt.? 3. Ist Wegintergral das gleiche wie Kurvenintegral? Wenn nicht, wo ist der Unterschied? Vielen Dank für eure Hilfe! Meine Ideen: Zu 1) ich weiß: aus stetig => integrierbar, aber ist das alles? |
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| 13.04.2010, 15:37 | giles | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hoffe mal du meinst "... fürs integrieren?", sonst sehe ich eigentlich schwarz für eine Analysis-Prüfung... 
Beim Integrieren ist fürs Riemann-Integral die Stetigkeit eine unheimlich wichtige Sache: Erst mal ist eine Funktion genau dann Riemann-Integrierbar wenn sie Lebesgue-f.ü. stetig ist, was die wichtigste Charakterisierung der R-int.barkeit ist. Dann kann man nur bei stetigen Funktionen den Fundamentalsatz der Analysis anwenden, ist also fürs ausrechnen von ganz zentraler Bedeutung.
kurz gesagt: Weil monotone Funktionen immer Intervalle auf Intervalle abbilden; genauer habt ihr es sicher auch bewiesen in der Vorlesung. Nicht-monoton ist z.B. sin(x) |
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| 13.04.2010, 16:06 | Linn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zu 1) steht doch oben mit drin, dass ich weiß, dass aus Stetigkeit Integrierbarkeit folgt, ich habe nur gedacht es müsste noch andere Aktionen geben, für die Stetigkeit gefordert wird. Zu 2) Auf einem Intervall z.B. [0,Pi/2] wäre sin(x) aber schon monoton, oder? Also ist eine funktion nur monoton, wenn die auf dem ganzen Definitionsbereich monoton ist? Wie ist es dann mit x^2, das müsste dann doch auch nicht monoton sein, oder? Wenn nun aus Stetigkeit und aus Monotonie Integrierbarkeit folgt, kann man dann auch sagen, dass eine Funktion, die weder stetig noch monoton ist nicht integrierbar ist? Oder gibt es eine solche Fkt.? Beispiel? |
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| 13.04.2010, 16:51 | giles | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie wärs wenn du meinen Beitrag liest? Ich hab nämlich etwas ganz anderes geschrieben als "aus stetigkeit folgt integrierbarkeit"... außerdem steht auch drin, wozu Stetigkeit noch wichtig ist...
Ich sagte doch oben schon, dass R.-int.bar äquivalent mit Lebesgue-f.ü. stetig ist. Es gilt zwar stetig oder monoton => R.-int.bar aber nicht ¬stetig oder ¬monoton => ¬R.-int.bar, sonst wäre der Obere Pfeil ein Äquivalenzpfeil (siehe auch). Jetzt ein Gegenbeispiel zu konstruieren ist u.U. viel Arbeit und bringt dich wahrscheinlich nicht weiter. |
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