Integral Arbeit

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Integral Arbeit Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Arbeit
Hallo,

ich brauche in der Physik folgendes, was wir in der Mathe jedoch ncoh nciht hatten. Ich muss ein soclhes Integral lösen.

ich habe gelesen, man muss dann den weg umschreiben:



das dann ableiten und umstellen:



jetzt weiß ich nciht mehr weiter ich brauche ja jetzt sicher ein Integral mit 0-1 d lambda. Nur wie bekomme ich das?
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem bei so einer intuitiven Notation wie dieser


ist eben, dass man nicht sofort sieht, was eigentlich zu tun ist. Du brauchst eine Parametrisierung des Weges also eine Kurve, die den Weg so läuft, wie du es dir vorstellst (Gerade, Kreisbahn, Spirale...) und dann gibt es zwei t für die Endpunkte und dann integrierst du eigentlich folgendes:

Integral Arbeit Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wieso ist denn in deiner Gleichung die Geschwindigkeit mit drinnen? Also in der Aufgabe ist die Kraft im gesamten Feld konstant. In einer Übung haben wir das mal kurz angesprochen gehabt. Und mir ist so, als wurde da der Weg mit der Substitution gewählt, so wie ich angefangen habe. Aber wie komme och da auf die Grenzen von 0 bis 1?

am Ende komme ich auf aber gilt das nciht nur bei Bewegung entlang de Feldlinien?
giles Auf diesen Beitrag antworten »

"wieso"? Kurvenintegrale sind so definiert.
Wenn du mir das nicht glaubst überprüf mal die Einheiten: ohne die Geschwindigkeit kommt da nicht mal die Einheit der Arbeit raus. Außerdem kommst du nicht auf : du sollst nicht die Ableitung einsetzen, sondern den Weg und dann mit der Ableitung das Skalarprodukt bilden und das integrieren.
Integral Arbeit Auf diesen Beitrag antworten »

Also in einer Übung haben wir das mal so gelöst habe ich gerade nachgeschaut:







am Ende habe ich stehen:

und das kommt auch zahlenmäßig aufs richtige ergebnis
nur fehlt etwas von den Aufzeichnungen. Also bei dem letzten Integral bin ich mir noch unsicher.
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Integral Arbeit
am Ende habe ich stehen:



Jetzt hast Du klargelegt, dass die Kraft längs des geraden Weges konstant sein soll. Dann kannst Du sie vor das Integral ziehen und hast
Wenn Du einen geraden Weg von Punkt 1 nach Punkt 2 zeichnest und in kleine Teilschritte aufteilst, siehst Du, dass deren Summe (Integrale sind Summen!) gleich dem Vektor von 1 nach 2 ist. Und damit steht das obige Ergebnis schon fest.

Viele im akademischen Betrieb aufgebrachten Integrale kann man Lösen, ohne die formalen Methoden der Integration zu benutzen. Hier genügte die Erkenntnis " Integrale sind Summen" und etwas Vektorrechnung.

Übrigens ist die Schreibweise mit den Ortsvektoren als Grenzen nicht hygienisch. Besser wäre ein Symbol für den Weg unter dem Integralzeichen. Dazu müssen Anfangs- und Endpunkt sowie der Wegverlauf gegeben werden.
 
 
Integral Arbeit Auf diesen Beitrag antworten »

Das die Kraft im Vektorfeld konstant ist habe ich oben geschrieben. Wie komme ich denn Formal auf die Integrationsgrenzen 0 und 1?
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dass die Kraft im Vektorfeld konstant ist, habe ich oben geschrieben. Wie komme ich denn Formal auf die Integrationsgrenzen 0 und 1?


Diese Grenzen kannst Du aus der Geradengleichung ablesen. Such einfach die -Werte für den Anfangs- und Endpunkt.
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Eine konstante Kraft ist konservativ: Da der Weg egal ist, habt ihr im Tutorium einfach irgendeine Geradengleichung genommen. Es geht prinzipiell jeder Weg, der r_1 als Anfang und r_2 als Endpunkt hat, aber die Geradengleichung ist offenbar am einfachsten.
Darauf baut dann auch dieser "Integrale sind Summen" Tipp auf... gerade wenn dir dies nicht geläufig ist, sind solche geometrisch-anschaulichen Überlegungen an der Aufgabe vorbei wenig lehrreich, da bei schon ein wenig schwereren Überlegungen solche Dinge direkt versagen.
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

@ giles

Zitat:
Original von giles
Darauf baut dann auch dieser "Integrale sind Summen" Tipp auf... gerade wenn dir dies nicht geläufig ist, sind solche geometrisch-anschaulichen Überlegungen an der Aufgabe vorbei wenig lehrreich, da bei schon ein wenig schwereren Überlegungen solche Dinge direkt versagen.



Ich sollte etwas präziser sagen: Bestimmte Integrale sind Summen. Das ist die wichtigste Information, die man dazu angeben kann. Schau Dir mal an, was ganz am Anfang der Einführung des bestimmten Integrals in Deinem Lehrbuch steht, und such da nach dem -Zeichen.

Die Kunst des Integrierens, die mit ihren diversen formalen Methoden sehr viel Aufmerksamkeit an sich zieht, ist dagegen sekundär. Leider ist es oft so: Wer richtig gut "schwere Integrale" lösen kann, hat möglicherweise die oben zitierte Summeneigenschaft aus den Augen verloren.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lampe16
Ich sollte etwas präziser sagen: Bestimmte Integrale sind Summen. Das ist die wichtigste Information, die man dazu angeben kann. Schau Dir mal an, was ganz am Anfang der Einführung des bestimmten Integrals in Deinem Lehrbuch steht, und such da nach dem -Zeichen.


Big Laugh Ich bin mir sicher, dass in giles' Lehrbuch das Integral abstrakter (über Maße) definiert wird.

Deine Bemerkung über Summen bezieht sich maximal auf Riemannintegrale...
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

@ gonnabphd
O.K.. Äußere mich später nochmal. Muss jetzt verreisen.
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

@ gonnabphd
Hier noch der angekündigte Nachtrag!

Ich will mit dem Hinweis "Integrale sind Summen" niemand davon abhalten, die gängigen Integrationsmethoden zu benutzen. In übersichtlichen Fällen aber, in denen die Summeneigenschaft direkt ausnutzbar ist, sollte man sich mit dem Addieren begnügen. Dass Probleme, die nur mit der Lebesgue'schen Definition des Integrals zu fassen sind, weniger dafür in Frage kommen, ist unbestritten. Aber da das L.-Integral das Riemann'sche nicht korrigiert sondern erweitert, ist auch dort "Integrale sind Summen" angebracht.

Ich habe zu viele Leute gesehen, welche die Bedeutung des Integrals vor lauter Integrationskunstfertigkeit vergessen hatten. Im übrigen berufe ich mich gerne auf P. A. M. Dirac: "I understand what an equation means if I have a way of figuring out the characteristics of its solution without actually solving it." Wenn man ein gestelltes Problem so angeht, tut man zunächst mal das Richtige. Im Falle des Threadproblems (Integral Arbeit) fällt dabei das actually solving erfreulicherweise gleich mit ab.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stimme natürlich mit dir und "Paul" überein. Augenzwinkern

Und ich bin mir sicher, dass du genug Verständnis in Sachen Mathematik hast, um zu wissen, wie man mit der Aussage "Integrale sind Summen" umzugehen hat. Insbesondere wann man es sich leisten kann so zu argumentieren und wann nicht.

Da aber de facto Summen eben nicht Integrale sind, sollte man jemandem, der hier z.B. obige Frage stellt, diese Sichtweise vielleicht für den Moment vorenthalten?

Und der Hinweis das Summenzeichen im Lehrbuch zu suchen: Ich habe diesen Rat befolgt und dort neben dem noch ein gefunden...

smile
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke gonnabphd!

Deine Antwort hat mir gut getan. Ich hatte schon befürchtet, dass hier im Forum keine Sympathie für Aussagen aufkommt, denen zugegebenermaßen der mathematische Rigor abgeht.
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