Funktionsgrenzwert gesucht

13.04.2010, 15:19

Razen

Funktionsgrenzwert gesucht

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{ \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{k} * (x-2)^{k} }{sin((x-2)^{2})} \end{eqnarray*}$

hallo, die lösung ist 1/2 - aber wie komme ich dauauf? welche mathematischen umformungen brauche ich dafür?

Danke schonmal smile

Edit: LaTeX korrigiert. Gruß, Reksilat.

13.04.2010, 16:34

Reksilat

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RE: Funktionsgrenzwert gesucht
Hi Razen,

Die Mods im Matheboard sind keine Rangierloks und deshalb bitte ich Dich darum, in Zukunft Deine Threads im passenden Bereich zu eröffnen und nicht immer nur alles nach "Sonstiges" zu packen.
Forum Kloppe

Verschoben nach Analysis!

Außerdem fehlen bei Dir die eigenen Ansätze.

Gruß,
Reksilat.

13.04.2010, 17:31

Razen

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verzeihung, ich versuch mich wegen dem richtigen forum zu bessern - hab gedacht bevor es falsch ist pack ichs lieber unter sonstiges rein.

PS: Das x dort oben links neben dem Bruch gehört noch zum limes, also "limes x gegen 2"

Zu meinem Ansatz:
der Nenner geht für mich gegen 1, also kann man ihn quasi weglassen - beim zähler hab ich keine Ahnung wie ich rangehen soll - da kann ich also nichts sagen... unglücklich

13.04.2010, 23:23

IberoGast

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RE: Funktionsgrenzwert gesucht
Zunächst mal solltest Du Dich durch geeignetes Erweitern des lästigen Nenners entledigen.
Beachte dazu:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}x=1. \end{eqnarray*}$

14.04.2010, 07:16

Razen

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omg, sinus 0 ist ja null, nicht eins...

aber hier die frage ist bei limes gegen 0 der bruch hier nicht "o/o" was eigentlich dann l`Hopital verlangt?

14.04.2010, 08:40

Iorek

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L'Hospital ist bei diesem Grenzwert eine heikle Sache (siehe hier). Alternativ kann man das ganze auch als Differentialquotient betrachten oder den Grenzwert über die Reihendarstellung des Sinus bestimmen.

14.04.2010, 09:06

Razen

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ok, löst allerdings immer noch nicht das problem mit der summe... unglücklich

14.04.2010, 09:52

IberoGast

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RE: Funktionsgrenzwert gesucht

Zitat:

Original von IberoGast
Zunächst mal solltest Du Dich durch geeignetes Erweitern des lästigen Nenners entledigen.
Beachte dazu:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}x=1. \end{eqnarray*}$

Warum machst Du nicht was ich Dir oben vorgeschlagen hatte?

Also, es gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{ \sum_{n=2}^\infty \frac {x^n}n }{ \sin(x^2) }= \left( \sum_{n=2}^\infty \frac{ x^{n-2}}n \right) \underbrace{\frac{x^2}{\sin(x^2)}}_{\longrightarrow 1} \end{eqnarray*}$

Es genügt also die Grenzbetrachtung für

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac{x^{n-2}}n \end{eqnarray*}$

durchzuführen, was sich wegen

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac{x^{n-2}}n=\frac{-x-\ln(1-x)}{x^2} \end{eqnarray*}$

dann mit L'Hospital erledigen lässt.

15.04.2010, 14:57

Razen

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hm, tut mir leid aber ich kanns immer noch nicht ganz nachvollziehen.

1. das x so einfach aus der summe ziehen, hm, ist möglich weil x eben unabhängig von n ist, oder?
2. der term mit sin(x^2) im Nenner, der wäre bei der grenzwertbetrachtung ohne die summe mit l`Hopital zu verwenden, dann wärs 2x/(cos(x^2)x2x = 2/2 = 1 - oder?
3. Die Umformung der Summe in der letzten Zeile - erm, wie geht das!?

16.04.2010, 18:27

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Razen
hm, tut mir leid aber ich kanns immer noch nicht ganz nachvollziehen.

1. das x so einfach aus der summe ziehen, hm, ist möglich weil x eben unabhängig von n ist, oder?

Genau!

Zitat:

Original von Razen
2. der term mit sin(x^2) im Nenner, der wäre bei der grenzwertbetrachtung ohne die summe mit l`Hopital zu verwenden, dann wärs 2x/(cos(x^2)x2x = 2/2 = 1 - oder?

Den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}x=1 \end{eqnarray*}$ sollte man einfach kennen.

Zitat:

Original von Razen
3. Die Umformung der Summe in der letzten Zeile - erm, wie geht das!?

Gliedweise differenzieren - Geometrische Reihe - Integrieren - Fertig

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