Lösungsmenge Matrix A mit Vektor b

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Lejia Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsmenge Matrix A mit Vektor b
Hallo,

wie löse ich folgende Aufgabe?
Geben Sie für die gegebenen Matrizen A und Vektoren b die Lösungsmenge des Gleichungssystems Ax =b an.

a)

Matrix A =

3 -1 1
1 1 0
3 -2 -1

Vektor b=

1
-1
0


Wie berechne ich das? Bitte um Hilfe Gott
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Der Gaußalgorithmus hilft hier smile
 
 
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,

also:

3x1 +x2 +3x3 =1
x1 + x2 = -1
3x1 -2x2 - x3 = 0

Die x-Werte lösen und das ergibt dann meine Lösungsmenge?

Das wäre ja voll einfach,glaube ich nicht^^
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Überprüf nochmal deine erste Gleichung, ansonsten läuft es aber auf das lösen diese Gleichungssystems raus, ja.
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte das wäre schwerer, in einer Musterlösung habe ich gesehen das zu der Lösungsmenge noch + lammda Vektor x1,x2,x3

Als Beispiel:

Matrix A =

1 2 1
2 2 -2
1 3 3

Vektor b=

1
0
2

So als Lösung kommt dann raus:

-1 3
1 + lammda -2
0 1

Wie komme ich auf das Lammdaergebnis?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

In dem Fall ist das Gleichungssystem unterbestimmt, daher bekommst du unendlich viele Lösungen.

Edit: Der Lösungsweg ist aber der gleiche -> Gauß.
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

Das erkennt man schlecht..

-1
1
0 das ist die Lösungsmenge

und da wird dazu addiert:

+ lammda

3
-2
1
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

Und wieso ist das lammda genau 3,-2,1 ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wo steht denn das das genau diesen Wert hat? Du bekommst als Lösung , also hat dein keinen festen Wert sondern ist einfach ein Element des zugrunde liegenden Körpers.
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mich schlecht ausgedrückt, wie komme auf den Teil mit + ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
In dem Fall ist das Gleichungssystem unterbestimmt, daher bekommst du unendlich viele Lösungen.

Edit: Der Lösungsweg ist aber der gleiche -> Gauß.


Wende einfach mal den Gaußalgorithmus darauf an, du wirst eine Nullzeile erhalten und infolge dessen eine Parameter einfügen.
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich nicht,eine Nullzeile bekomme ich..habe ich ausgerechnet aber was ich damit anfangen soll ist mir schleierhaft unglücklich
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Na, wenn du eine Nullzeile erhälst, fügst du einen Parameter ein und rechnest damit weiter, du wirst doch schonmal ein unterbestimmtes Gleichungssystem dieses/letztes/davor Semester gelöst haben, oder?
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

Bisher nicht,das ist mein erstes Semester und ich habe Mathematik nur als "Nebenfach" aber es kommt in einer Altklausur vor darum "muss" ich es wissen verwirrt
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann poste doch mal deinen Rechenweg bis zum Erreichen der Nullzeile, danach fügen wir dann mal einen Parameter ein.
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

1 2 1

2 2 -2

1 3 3

1. Zeile mal(-2) + 2.Zeile und 1.Zeile mal (-1) + 3.Zeile

1 2 1

0 -2 -4

0 1 2

3. Zeile mal 2 + 2.Zeile

1 2 1

0 -2 -4

0 0 0
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du das beim nächsten mal mit unserem Formeleditor schreiben? Das sieht um einiges schöner aus Augenzwinkern



2 Sachen:

1. Du musst natürlich die erweiterte Koeffizientenmatrix umformen, oder die Umformungen nochmal extra übertragen.
2. Bring deine Matrix jetzt noch auf Zeilenstufenform, dann kann man das Einfügen eines Parameters schön sehen.
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2. Ich weiß leider nicht wie das "Formen" geht,sonst hätte ich es schon getan,ich hasse das selbst so zu schreiben weil es unleserlich wird:

Zeilenstufenform:

1 2 1

0 0 -3

0 0 0


zu 1. Was meinst du damit?

Aus einem scheinbar einfachem Thema wird ein langes kompliziertes unglücklich
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Rechts in der Leiste ist ein Link zum Formeleditor, da kannst du das quasi einfach zusammenklicken Augenzwinkern

Wie kommst du auf diese Zeilenstufenform?

Und die erweiterte Koeffzientenmatrix ist einfach die Matrix A mit dem Lösungsvektor b in einem System vereint: (falls einer weiß, wie man den Trennstrich schöner darstellen kann, um "Korrektur" wird gebeten Augenzwinkern )
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die 1. Zeile mit der 2. Zeile addiert,obwohl ich schon dachte das
Zeilenform hat?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Addier mal die zweite Zeile auf die erste Zeile, dann bekommst du die richtige Matrix Augenzwinkern

Das ist einfach nur eine Vereinfachung um das Einfügen eines Parameters zu erleichtern.
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,also

?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, jetzt noch die zweite Zeile mit multiplizieren, damit die 1 dort steht und wir wären soweit erstmal fertig.

Trotz allem fehlt jetzt noch immer unser Lösungsvektor, hast du das mit der erweiterten Koeffizientenmatrix verstanden?
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »



unser Lösungsvektor war

ich sollte ihn einsetzen zu(weiß nicht wie ich das wie du schreiben kann):



soll das multipliziert werden?

?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das soll noch nicht multipliziert werden...

Gehen wir mal von diesem Beispiel weg und kurz allgemeiner an die Sache, wie hast du sonst immer die Lösung solch eines Gleichungssystem bestimmt?
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

In dem ich es gleich 0 gesetzt habe,wie hier zu Beginn
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wo hast du das denn gleich 0 gesetzt? Oo

Wenn du das machst berechnest du doch nicht die Lösung für den speziellen Vektor b=...
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

In dem ich die Ausgangsmatrix = dem Vektor gesetzt habe ! Bin am verzweifeln...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lejia
In dem ich es gleich 0 gesetzt habe,wie hier zu Beginn


Das hast du zuerst geschrieben.

Zitat:
Original von Lejia
In dem ich die Ausgangsmatrix = dem Vektor gesetzt habe ! Bin am verzweifeln...


Das ist aber was ganz anderes Augenzwinkern

Ich wiederhole nochmal meine Frage: hast du das mit der erweiterten Koeffizientenmatrix verstanden?
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ehrlich gesagt nicht,was meinst du denn damit?

Übrigens danke das du deine Zeit hier opferst,würden nicht alle machen Freude
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du denn mal eine (einfache) Beispielaufgabe aufschreiben, wie ihr bisher ein Gleichungssystem gelöst habt? Habt ihr das in einzelne Gleichungen umgeschrieben und damit gerechnet? Habt ihr das in Matrizenschreibweise gehalten? Ich kann mir gerade nicht ganz erklären, wie ihr so etwas gelöst habt.
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe leider kein Lösungsweg,darum auch meine Suche hier im Forum.Ich versuche mir das selbst beizubringen,wie löst man es denn? Bzw. wie ist der Ansatz?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr habt also noch nie ein Gleichungssystem gelöst? Dann lies dich am besten kurz hier ein, dort wird auch auf die erweiterte Koeffizientenmatrix eingegangen.
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

Das theoretische liegt mir nicht,learning by doing^^
Habs mir durchgelesen,hängengeblieben ist das was hier auch schon stand mit
aber wie das nun gelöst wird weiß ich nicht

für a setze ich meine matrix ein und für b meinen lösungsvektor
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann eine Kurzfassung.

Du hast deine erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt, .

Jetzt wendest du darauf ganz normal den Gaußalgorithmus an, dabei wird der Lösungsvektor b mit umgeformt. Wenn du am Ende deine Matrix in die Einheitsmatrix umgeformt hast, hast du dort, wo davor der Lösungsvektor b stand, einen neuen Vektor stehen. Diese neue Vektor ist dabei automatisch dein gesuchter Vektor x, d.h. wenn du das ganze auf diese Form gebracht hast, , dann hast du sofort deinen Vektor x bestimmt.
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe Probleme mit dem Gaußverfahren,
komme da auf keinen Zweig bei unserem Beispiel



Wie soll ich da auf die Form kommen? Wenn ich versuche die obere Zeile mal 2 und die zweite Zeile mal 3 nehme,dann passt das nicht mehr mit den 1-en ?!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »



Bin ich erstmal mit einverstanden Augenzwinkern

Jetzt kommen wir dazu, dass das ganze unterbestimmt ist. Wichtig ist hierbei erstmal die dritte Zeile; dort steht nämlich eine immer wahre Aussage, nämlich 0=0.

Würde dort etwas anderes stehen, so wäre das System nicht lösbar.

Du hast auch richtig erkannt, dass wir Probleme haben, die Einheitsmatrix zu erzeugen, wenn du dir die Matrix aber anguckst, wo haben wir denn schon einen guten Ansatz für die Einheitsmatrix stehen, was könnten wir also schon so stehen lassen weil es zur Einheitsmatrix gehört?
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige meine Abwesenheit,nach 5h musste ich mal etwas essensmile

Für mich sehen erste und zweite Zeile genau gleich aus,der Weg zum Ziel ist für mich gleich - bei beiden fehlt eine 0
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht in die richtige Richtung; das wichtige ist in dem Fall, dass sowohl in der ersten als auch in der zweiten Zeile, die dritte Spalte jeweils noch stört, erste und zweite Spalte sind schon in der richtigen Form.

Wir haben aber keine Möglichkeit diese letzte Spalte noch auszuräumen, ohne die ersten beiden Spalten wieder zu verändern, das ist das "Problem" mit den Nullzeilen. Darum führen wir jetzt einen Parameter ein:



Kommst du damit jetzt weiter?
Lejia Auf diesen Beitrag antworten »

Nein,nicht wirklich,was muss ich da nun lösen?
Die Zahlen sehen der Lösung jedenfalls sehr ähnlich^^
Trotzdem komme ich nicht drauf
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