Körper mit 4 Elementen

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Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »
Körper mit 4 Elementen
Hi...

ich hab ja jetzt schon im Board gefunden, dass es den Körper mit 4 Elementen gibt. Nur verstehe ich eins nicht:

warum muss gelten, dass c + c = 0 ist für alle c aus diesem Körper?
pfnuesel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper mit 4 Elementen
Hallo

Zitat:
Original von Sunwater
Hi...

ich hab ja jetzt schon im Board gefunden, dass es den Körper mit 4 Elementen gibt. Nur verstehe ich eins nicht:

warum muss gelten, dass c + c = 0 ist für alle c aus diesem Körper?


Das halte ich für ein Gerücht. Meinst du evt. den Körper mit 2 Elementen?

Im Körper bestehend aus den Elementen gilt tatsächlich .
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

In F4 auch.
Ich weiß aber leider nicht mehr warum.
Soweit ich weiß, gilt das sogar in jedem Körper mit |K|=2^n, n>=1.
mfG 20
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper mit 4 Elementen
Zitat:
Original von pfnuesel
Hallo

Zitat:
Original von Sunwater
Hi...

ich hab ja jetzt schon im Board gefunden, dass es den Körper mit 4 Elementen gibt. Nur verstehe ich eins nicht:

warum muss gelten, dass c + c = 0 ist für alle c aus diesem Körper?


Das halte ich für ein Gerücht. Meinst du evt. den Körper mit 2 Elementen?

Im Körper bestehend aus den Elementen gilt tatsächlich .


Warum soll das ein Gerücht sein? Bis auf Isomorphie gibt es genau einen Körper mit Elementen (). Für den Fall ist jedes Element zu sich selbst invers bezüglich der Addition.
Um mal für meine Uni Werbung zu machen: http://www-hm.ma.tum.de/archiv/in1/ws0001/folien/folie37.pdf

Gruß, therisen
pfnuesel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper mit 4 Elementen
Okay, danke für die Richtigstellung. Dann muss ich da nochmals richtig über die Bücher. verwirrt

Edit: Ah, bei Wikipedia wird mein Überlegungsfehler exakt beschrieben:

Zitat:
Man beachte, dass der Körper nichts mit dem Restklassenring zu tun hat, in dem z.B. ist
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

@therisen

danke für den Link, aber ich kann da irgendwie nicht die Antwort auf meine Frage rauslesen?!
 
 
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Es steht dort als Rechenregel. Der Grund dafür ist einfach, dass GF(4) die Charakteristik 2 besitzt, d.h. es gilt für alle Körperelement v: v + v = 0.

Grüße Abakus smile
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

mein Problem ist zu verstehen, warum eine Konstruktion bei der nicht v + v = 0 gilt kein Körper sein kann.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sunwater
mein Problem ist zu verstehen, warum eine Konstruktion bei der nicht v + v = 0 gilt kein Körper sein kann.


Kann es doch. Nimm oder die reellen Zahlen. Ansonsten gibt es auch Körper mit v + v + v = 0 usw. (die haben dann -viele Elemente) Hier wäre die Charakteristik dann 3.

Grüße Abakus smile
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo sunwater,

die einfachste (einfach ist hier nicht im Sinne von schnell zu verstehen!) Methode wäre es, zunächst alle Gruppen der Ordnung 4 zu bestimmen. Davon gibt es bis auf Isomorphie genau 2, die beide abelsch sind. Für eine dieser Gruppen (wir nennen sie die erste der beiden) gilt für alle Elemente . Wenn du nun versuchst, die zweite Gruppe zu einem Körper zu "erweitern", indem du eine geeignete multiplikative Struktur einführst, wirst du auf einen Widerspruch stoßen (müssen). Wenn du also weißt, dass es einen Körper mit 4 Elementen gibt, dann muss diesem die erste abelsche Gruppe zu Grunde liegen (additiv).


Gruß, therisen
Schmonk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sunwater
mein Problem ist zu verstehen, warum eine Konstruktion bei der nicht v + v = 0 gilt kein Körper sein kann.


Naja, in allen anderen Fällen kannst du dir Widersprüche zu den Körperaxiomen basteln.
Stell dir vor, du hast 0,1,a,b in deinem Körper, wenn jetzt zB a+a=b+b=1+1=a gilt und ausserdem 1+a=b und 1+b=0, dann wäre (1+1)+a=a+a=a aber gleichzeitig 1+(1+a)=1+b=0 und die Addition wäre somit nicht assoziativ. Ich glaube du kannst dir die Gruppentafel für die Addition belegen wie du willst, wenn du dabei nicht a+a=0 für alle a aus dem Körper hast, bekommst du immer wieder solche Widersprüche. Woran das genau liegt, weiß ich aber auch nicht.

Edit: Jaja, da war schon wieder einer schneller und ich hab's auch noch falsch gemacht. Wie ist denn die zweite mögliche kommutative Gruppe für die Addition? Nur mal so aus Interesse...

Edit2:Hat sich erledigt, ich kann ja einfach die Gruppentafel für nehmen. Das hatte ich von vorn herein schon ausgeschlossen wegen der Nullteiler.
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

@ Abakus: danke für den Tipp - weil wir nächste Woche nämlich zeigen sollen, ob es einen körper mit 9 Elementen gibt - da wird mir das sicher weiterhelfen!


insgesamt gesehen: kann ich mir nur Körper mit basteln, die Elemente haben ( p sei Primzahl und n eine natürliche Zahl )

gibt es also z.B. keinen Körper mit 6 Elementen?

Wir hatten da noch so nen schönen Satz:

Sei A ein kommutativer Ring mit Eins, m ein Ideal. Dann ist A/m
ein Körper genau dann, wenn m maximales Ideal ist.

ist der nur für Beweise gut oder kann man sich damit auch gut einen Körper konstruieren?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Beispiel wäre die analytische Konstruktion des Körpers der Henselschen p-adischen Zahlen. Das ist aber nicht trivial Augenzwinkern
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