Vollständige Induktion |
| 14.04.2010, 09:18 | Mausbär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Vollständige Induktion Hallo an alle. Ich muss die folgende Aufgabe mit vollständiger Induktion lösen und habe da so meine Probleme. Ich hoffe mir kann dabei jmd. weiterhelfen. Aufg.: Seien a1,a2,...,an Elemente aus R+0 und n Element aus N. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für n >= 1 gilt: n-te Wurzel von (a1*a2*...*an) < = 1/n * (a1+a2+...+an) (Entschuldigt bitte meine Schreibweise, habs noch nicht so drauf mit der mathematischer Schreibwise am PC!) Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Was mache ich mit a1,a2,...,an? Wenn ich im I.A. für n=1 einsetze, ist die linke Seite meiner Meinung nach größer als die rechte Seite und nicht <= (kleiner gleich). Das passt nur wenn ich für alle a=1 einsetze!? Meine Ideen: Mein Ansatz: n=1 erste Wurzel von (a1*a2*...an)<= 1/1 * (a1+a2+...+an) Wenn ich jetzt für alle a=1 einsetze passt es: 1<= 1*(1+1+1+...+1) Aber darf ich das? Und was ist wenn ich für a1=1,m a2=2 usw. einsetze? Dann passt es doch wieder nicht. Wo ist mein Gedankenfehler? Bei der I.V.: Muss ich da bei der n-ten Wurzel auch n+1 -te Wurzel nehmen, oder bleibt es n-te Wurzel? Danke für eure Hilfe. Mausi |
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| 14.04.2010, 09:27 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine sind einfach irgendwelche, positiven, reellen Zahlen, da setzt du gar nichts ein, viel mehr führst du die Induktion über n, setz also im Induktionsanfang (wie du auch richtig aufgeschrieben hast) n=1, was wird denn dann aus ? |
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| 14.04.2010, 09:45 | Mausbär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bleibt es dann nicht einfach bei (a1*a2*...*an) ?! Und wie sieht es mit der Wurzel bei der Induktionsbehauptung aus? |
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| 14.04.2010, 09:50 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn n=1, wieviele hast du denn dann überhaupt? |
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| 14.04.2010, 09:59 | Mausbär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt dann hab ich ja nur 1a, oder ?! ;-) |
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| 14.04.2010, 09:59 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau, du hast dann nur , was steht dann also im Induktionsanfang da? |
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| 14.04.2010, 10:06 | Mausbär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wurzel von a1 <= 1/1*(a1) Dann stimmts;-) Super Danke und kannst du mir evt. auch bei der IB helfen, wenn ich für n=n+1 einsetze? |
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| 14.04.2010, 10:09 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, da steht eben nicht , du musst alle n=1 setzen. Sei z.B. , dann wäre die Behauptung nach deinem Vorschlag falsch, denn: |
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| 14.04.2010, 10:18 | Mausbär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso? Wenn es heißt: Wurzel von a1<= 1/n*(a1) und ich für n=1 einsetze und für a1=0,25, dann bekomm ich doch: Wurzel 0,25<= 1*0,25 Dann stimmts doch!? |
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| 14.04.2010, 10:21 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe dir oben doch sogar ausgerechnet, das stimmt eben nicht! 
Beachte mal, dass du da stehen hast. |
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| 14.04.2010, 10:25 | Mausbär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt. Mist , dann gilt die Aussage nur für a>=1 bzw. für Q+. Oder? |
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| 14.04.2010, 10:26 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da steht alles was du wissen musst, die Aussage gilt für alle . |
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| 14.04.2010, 10:29 | Mausbär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry steh grad voll auf dem Schlauch. 0,25 ist doch ein Element von R+ und da passt es nicht. und für n=1 habe ich die erste Wurzel, also geht es doch nicht. |
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| 14.04.2010, 10:30 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ist denn die "erste Wurzel"? |
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| 14.04.2010, 10:32 | Mausbär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
erste Wurzel von a = a hoch 1 , also a ;-) |
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| 14.04.2010, 10:33 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, also kannst du jetzt was über deinen IA sagen? |
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| 14.04.2010, 10:38 | Mausbär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es passt!!! :-) Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht;-) |
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| 14.04.2010, 10:39 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, damit ist der IA also abgehakt, dann kommen jetzt noch IV und IS. Den IS kann man auf unterschiedliche Arten beweisen, abhängig davon was für Vorraussetzungen du hast; ein möglicher (und relativ einfacher Beweis) verwendet die Bernoulli-Ungleichung. |
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| 14.04.2010, 10:53 | Mausbär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
IV ist klar, aber wir müssen immer noch die Induktionsbehauptung (n=n+1) auf- und umstellen und dann im IS die linke Seite der IB zur rechten Seite der IV umwandeln. Also IB: \sqrt[n+1]{a1*a2*...*an}\leq 1/(n+1)*(a1+a2+...+an) und IV: \sqrt[n]{a1*a2*...*an}\leq 1/n*(a1+a2+...+an) |
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| 14.04.2010, 10:54 | Mausbär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry hat mit den Zeichen irgendwie nicht hingehauen, aber die Formel kennst du ja. |
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| 14.04.2010, 10:55 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und genau diese Umwandlung kann auf mehreren Wegen geschehen, jenachdem was für Vorraussetzungen du dafür hast (beachte meinen Kommentar zur Bernoulli-Ungleichung...). |
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| 14.04.2010, 10:58 | Mausbär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bernoulli-Ungleichung war doch für alle reele Zahlen x >= -1 und positive ganze Zahlen n>= 0 : (1+x)`n >= 1+nx Oder? War das das, oder hab ich noch etwas vergessen? |
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| 14.04.2010, 11:00 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau diese Ungleichung ist das; da ihr die ja schon habt, dürft ihr die also auch verwenden. |
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| 14.04.2010, 11:05 | Mausbär | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich versuchs gleich mal ;-) Wenns nicht klappt, meld ich mich später wieder, hatten die nämlich nicht direkt, habs nur bei Wikipedia nachgelesen. Dürfen aber zum Glück alles nutzen! :-) |
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